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2023-2024学年江苏省无锡市江阴市三校联考高一(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.△ABC中,a=7,A=30°,B=15°,则c=(????)
A.32 B.72 C.
2.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为(????)
A.3π6 B.3π3
3.在空间中,下列命题正确的是(????)
A.三点确定一个平面
B.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行
C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
4.若|a|=2,|b|=2且(a?
A.π6 B.π4 C.π3
5.“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺.”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题.意思为“现有城(如图,等腰梯形的直棱柱体),下底长4丈,上底长2丈,高5丈,纵长126丈5尺(1丈=10尺)”,则该问题中“城”的体积等于(????)
A.1.8975×106立方尺 B.3.7950×106立方尺
C.2.5300×10
6.已知向量a,b满足a?(a+b)=2,且|a
A.?12a B.?a C.
7.已知△ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为
A.3 B.32 C.1
8.如图,扇形的半径为1,圆心角∠BAC=150°,点P在弧BC上运动,AP=λAB+μAC,则
A.0 B.3 C.2 D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知一个等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为(????)
A.2π B.(1+2)π
10.在△ABC中,C=30°,b=2,c=x.若满足条件的△ABC有且只有一个,则x的可能取值是(????)
A.12 B.22 C.1
11.已知点O为△ABC所在平面内一点,且AO+2OB+3OC
A.AO=12AB+34AC
B.直线AO必过BC边的中点
C.S△AOB:S△AOC
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若B=75°,cosC=22,a=6,则△ABC中最短边长为??????????
13.甲,乙两艘渔船从港口A处出海捕鱼,甲在A处西北方向上106km的B处捕鱼,乙在A处北偏东30°方向上的C处捕鱼,已知C处在B处北偏东75°的方向上,则A,C之间的距离为______km
14.在△ABC中,O是△ABC的外心,G是△ABC的重心,且OG?BC=14
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=15,c=3,cosB=?16
(Ⅰ)求sinC的值;
(Ⅱ)
16.(本小题15分)
如图所示,在四棱锥C?ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:GF/?/平面ABC;
(2)线段BC上是否存在一点H,使得面GFH/?/面ACD,若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由.
17.(本小题15分)
如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=2π3,AE=1,AF=2,D为BC的中点,AD与EF交于G点.设AB=a,AC=b.
(1)求AD?EF
(2)试用a
18.(本小题17分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2?b2=3ac,2acosC=2b+c.
(Ⅰ)求△ABC各内角的大小;
(Ⅱ)若D,E是边BC上的两点,∠DAE=π
19.(本小题17分)
在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P?ABCD.点E在棱PB上,满足PEPB=13,点F在棱PC上,满足PFPC=14,要求同学们按照以下方案进行切割:
(1)试在棱PC上确定一点G,使得EF/?/平面ABG;
(2)过点A,E,F的平面α交PD于点H
答案和解析
1.【答案】B?
【解析】解:因为A=30°,B=15°,所以C=180°?A?B=135°
由正弦定理得c=asinCsinA=7sin135°sin30°=72,
2.【答案】B?
【解析】解:设圆锥母线长为l,高为
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