八年级数学下册1三角形的证明课题三角形内角的平分线学案.docx

【学习目标】

课题 三角形内角的平分线

能证明三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边距离相等．

能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．

【学习重点】

理解三角形三内角平分线交于一点，并进行相关应用．

【学习难点】

角平分线性质定理及判定定理的熟练应用．

行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．

行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．

方法指导：

证明三线共点的方法是先设其中两条直线相交于一点，再证明这一点在第三条直线上．

到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，此点必在三角形的内部．

情景导入 生成问题

旧知回顾：

1．角平分线的性质定理和判定定理内容是什么？答：(1)角平分线上的点到这个角的两边距离相等．

(2)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．2．我们曾学过三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三顶点距离相等，本节课我们学习三角形三条角

平分线的性质．

知识模块一 三角形三条角平分线的性质

【自主探究】

自学互研 生成能力

阅读教材P

30－31

的内容，回答下列问题：

三角形三条角平分线性质是什么？如何证明？

答：三角形三条角平分线交于一点，这一点到三条边的距离相等．

已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别是D、E、F.

求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.

证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到角的两边距离相等)．同理：PE

＝PF，∴PD＝PE＝PF，∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P.

归纳：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等．

范例1：如图，有三条铁路a、b、c相互交叉，现在建一个货物中转站，要求到三条铁路的距离相等，可供选择的地址有4处．

,(范例1题)) ,(仿例1题)) ,(仿例2题))

仿例1：如图，已知O为△ABC的两条角平分线BO、CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2cm，若

△ABC的周长是17cm，则△ABC的面积为17 cm2．

学习笔记：

行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．

学习笔记：

检测可当堂完成．

仿例2：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上．

证明：过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G.∵PB、PC分别是△ABC的外角平分线，∴PE＝

PG，PG＝PF，则PE＝PF，所以点P在∠BAC的平分线上．知识模块二 有关角平分线的计算与证明

范例2：

12

如图，BE是∠ABC的平分线，DE⊥AB于D，S ＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝

△ABC 5

仿例1：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.

cm.

证明：在 BC上截取BF＝AB，连接EF.∵AB＝BF，∠ABE＝∠FBE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠A＝

∠BFE.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∵∠BFE＋∠EFC＝180°，∴∠EFC＝∠D.∵CE平分∠BCD，∴∠ECD＝

∠ECF.又∵CE＝CE，∴△ECF≌△ECD，∴CF＝CD，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.

仿例2：如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，若∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°.求证：CA＝CB.

证明：过点C作CN⊥OB于点N.∵∠1＝∠2，CM⊥OA，∴CN＝CM.∵∠3＋∠4＝180°，∠4＋∠CBN＝180°，

∴∠3＝∠CBN.又∵∠CMA＝∠N＝90°，∴△AMC≌△BNC，∴CA＝CB.

归纳：证明线段的和或差通常用截长补短法，联系角平分线对称性添加辅助线构造全等三角形．

交流展示 生成新知

【交流预展】

将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．