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《空间向量及其运算的坐标表示》应试拓展

拓展1如何理解空间直角坐标系

空间直角坐标系的分类

就坐标轴的方向而言,我们分右手系和左手系,一般我们用右手系.

空间直角坐标系的画法

(1)轴与轴成(或轴与轴成(或.

(2)轴垂直于轴,轴和轴的单位长度相等,轴上的单位长度等于轴单位长度的一半(即斜二测画法).

(3)每两条坐标轴确定的平面:相互垂直.

拓展2由点的坐标确定点的位置

方法一:从原点出发沿轴正方向移动个单位长度得到点,再将点沿轴正方向移动个单位长度得到点,再将点沿轴正方向移动个单位长度得到点.

方法二:先确定点在平面上的射影的位置,再由角坐标确定点在空间直角坐标系中的位置.

方法三:以原点为一个顶点,构造棱长分别为的长方体(三条棱的位置要与的符号一致),即分别在轴、轴、轴上确定点,然后以为棱作一个长方体,体对角线的端点就是点的位置(如图所示).

拓展3在空间直角坐标系中,点的几个特殊的对称点的坐标

(1)关于原点的对称点为;

(2)关于轴的对称点为;

(3)关于轴的对称点为;

(4)关于轴的对称点为;

(5)关于平面的对称点为;

(6)关于平面的对称点为;

(7)关于平面的对称点为.

拓展4求几何体中线段的长度的步骤

(1)利用几何体中的线面关系、对称关系等建立适当的坐标系;

(2)表示出几何体中各点的坐标;

(3)利用距离公式求线段的长度.

拓展5空间向量的坐标运算

利用向量的坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则,同时掌握下列技巧:

(1)标运算中注意意关公式的灵活运用,如.等.

(2)进行向量的坐标运算时,可以先代的坐标再运算,也可以先进行向量式的化简,再代的坐标运算.如计算,既可以先求出,再求数量积,也可以把b)写成后计算.

【例1】已知向量.求:

(1);

(2)与夹角的余弦值.

解:(1)因为,所以,解得.故.

又因为,所以,即,解得,于是.

(2)由(1)得.

设与的夹角为,则.