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2023微积分学(吴迪光张彬著)课后答案

微积分学历史背景

早期思想

早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、

与长度等问题的研究就含有微积分思想。古希腊数学家、力学家阿基米德(公元

前287~前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，

他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线

所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。中国古代数学家也产生过积分学

的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求

体积问题的设想。

在3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近

似代替圆面积，求出圆周率的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥

少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。刘徽对面积的深刻认

识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现。数列极限是函数极限的基础，

一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，

a为数列的极限，记作liman=a例如an=1/n，数列的极限为0。

微分学

微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学

概念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一

事实。若用s=s(t)表示物体的运动规律，即物体运动中所走路程s与时间t的

关系，那么物体在t=t0时的瞬时速度为v(t0)，并记v(t0)=s(t0)，并称之为路

程s关于时间t的导数或变化率，也可记v(t0)=()|t=t0。而物体运动的加速

度a(t)=v(t)=s(t)=()。导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，

都起着基础而重要的作用。例如在求极大、极小值问题中的应用。

积分学

积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的

性质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的

逆运算而提出来的。如果对每一xI，有f(x)=F(x)，则称F(x)为f(x)的一个原

函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F(x)是f(x)的一个

原函数，则=F(x)+C，其中C为任意常数。定积分概念的产生________于计算平

面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问

题的基本思想是用有限代替无限;基本方法是在对定义域[a，b]进行划分后，构

造一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设f(x)为定义

在[a，b]上的函数，任意分划区间[a，b]:a=x0x1…xn=b，记，||||=max{xi}，

任取xixi，如果有一实数I，有下式成立：，则称I为f(x)在[a，b]上的定

积分，记为I=f(x)dx。当f(x)0时，定积分的几何意义是表示由x=a，x=b，y=0

和y=f(x)所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面

的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”。

联系微分学和积分学的基本公式是：若f(x)在[a，b]上连续，F(x)是f(x)

的原函数，则f(x)dx=F(b)-F(a)。通常称之为牛顿-莱布尼兹公式。因此，计算

定积分实际上就是求原函数，也即求不定积分。但即使f(x)为初等函数，计算

不定积分的问题也不能完全得到解决，所以要考虑定积分的近似计算，常用的方

法有梯形法和抛物线法。微积分学是微分学和积分学的总称。

客观价值

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因

此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用