《数字信号处理》课件1第3章.ppt

在实际应用场合中，周期序列由模/数转换器对连续时间周期信号进行采样得到，序列中除去有用信号成分以外，还可能包括噪声成分。在利用DFT进行谱分析时，噪声会对有用信号频谱产生影响。为了提高噪声条件下周期序列的谱分析效果，可以考虑截取多个周期进行DFT，相当于通过增加时间积累来抑制噪声的影响。下面讨论周期序列多个周期的DFT，并与单周期DFT进行比较。

假设截取的m个周期，m为正整数，截取序列长度为M=mN，序列表示对xM(n)进行M点DFT，可得

令n=n+rN，则r=0，1，…，m－1，n=0，1，…，N－1；那么由于

所以(3.6.24)上式表明：XM(k)也能表示的频谱结构，当k=rm时，XM(rm)=mX(r)，相当于单周期DFTX(r)幅度扩大m倍，而其它k值时，XM(k)=0；从频率角度来看，单周期DFTX(r)与多周期DFT的XM(rm)的频率是对应的，即 。同时，由于多周期DFT的幅度扩大m倍，使得谱分析时具有更好的抗噪声能力，更容易获得原始周期序列的频谱特性。3.6.3谱分析的误差来源

从前两节讨论可以看出，DFT谱分析实际上是以离散频谱对原始频谱的一个逼近过程，这种逼近可能会带来一定的误差，而误差来源则与谱分析步骤密切有关。对于连续时间信号，涉及时域采样、时域截短和DFT(频域采样)，而序列谱分析包括频域采样甚至时域截短。下面就针对这些步骤，讨论DFT谱分析的误差问题。(1)混叠现象。针对连续时间信号的时域采样步骤。若时域采样时未满足采样定理，则会引起频域混叠现象，混叠出现在数字频率ω=π和模拟频率f=fs/2附近。为了避免频域混叠，选择采样频率要满足fs≥2fc，通常为fs=(3～5)fc。在数字通信应用中，典型值为fs=4fc。当采样频率确定的情况下，可以在时域采样前对连续时间信号进行预滤波，滤除高于fs/2的频率成分，避免混叠现象。(2)栅栏效应。针对DFT(频域采样)步骤，连续时间信号和序列都存在这种现象。由于N点DFT是频谱X(ejω)在频率0～2π上的等间隔采样，DFT就像一个“栅栏”，只能在离散的频率点上看到谱线，其它频率点的频谱看不到，这种现象称为“栅栏效应”。减轻栅栏效应的思路是增加频域采样点数，使离散谱线更密，就可以看到原来看不到的频谱分量，这些分量并不一定为零。具体做法可以采取序列尾部补0的

方式，进行更大点数的DFT来实现。(3)频谱泄漏。针对时域截短步骤，连续时间信号和无限长序列均存在这种现象。时域截短是为了得到有限长序列xN(n)=x(n)·w(n)，序列时域相乘对应频域卷积，即XN(ejω)=X(ejω)*W(ejω)。如果w(n)频谱W(ejω)为单位冲激函数d(w)，那么卷积后XN(ejω)=X(ejω)，频谱不变。但是，作为窗函数w(n)是有限长序列，W(ejω)不可能为单位冲激函数，如矩形窗w(n)=RN(n)频谱就具有单个主瓣和多个旁瓣。这样，X(ejω)与W(ejω)卷积将会带来频谱上的拖尾和展宽。图3.6.3给出了单位冲激函数形式的频谱与矩形窗频谱卷积后的示意图。可以看出，原来的离散谱线通过卷积后已成为具有主瓣和旁瓣的频谱，出现了拖尾和展宽。因此，频域卷积一定会造成频谱X(ejω)的“扩散”，包括拖尾和展宽，这种现象称为“频谱泄漏”。

频谱泄漏使得频谱变得模糊，使频率分辨率降低，而且有可能造成混叠。如果泄漏导致的频谱扩散使最高频率超过fs/2，就会引起频域的混叠。谱分析的一种典型应用是窄带干扰抑制，通常要消除某个幅度很高的干扰频率成分，而其泄漏有可能超过附近有用信号频率成分，使得在尽可能多消除干扰频率的同时，又无法多保留有用信号成分。因此，必须重视频谱泄漏问题。图3.6.3频谱泄漏的示意图减小频谱泄漏的一种方式是增加窗函数w(n)的长度N，在获得更长的数据的同时，使W(ejω)主瓣更窄，提高频率分辨率，但旁瓣个数和相对幅度并不减少。另一种更好的方法是数据不要突然截短，而是缓慢截短，这就要求改变窗函数w(n)的形状，选择其它窗函数，使频谱W(ejω)主瓣能量集中，旁瓣能量更小，衰减更大。典型窗函数有三角形窗、升余弦窗等。关于频谱泄漏的详细数学分析推导将在第6章窗函数中进行介绍。 习题

3.1设 ，试求，并作图表示 、。

3.2已知周期序列， ，试求下列周期序列的DFS：

(1) (2)

(3) (4)3.3求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换。

(1)δ(n) (2)δ(n－n0)，0n0N

(3)x(n)=anRN(n) (4)x