专题13 导数与函数的极(最)值--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展.pdfVIP

专题13导数与函数的极（最）值

【热点聚焦】

新课程及新高考对极值（最值）的基本要求是：了解函数极值的概念及函数在某点取到极值

的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导

数解决某些实际问题.从高考命题看，往往以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）

等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．

【重点知识回眸】

（一）函数的极值

1.函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且

在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做

函数y＝f(x)的极小值．

2.函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，

而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)

叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

3.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意

以下几点：

（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是

最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一

个

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

4.极值点的作用：

（1）极值点为单调区间的分界点

（2）极值点是函数最值点的候选点



5.fx在xx处可导，那么xx为fx的一个极值点fx0

000



说明：①前提条件：fx在xx处可导

0





②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数0，但是导数0不能推出xx为fx

0

yx3

的一个极值点，例如：在0,0处导数值为0，但x0不是极值点

③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例



如：yx在0,0处不可导，但是x0为函数的极小值点）

6.求极值点的步骤：





（1）筛选：令fx0求出fx的零点（此时求出的点有可能是极值点）



（2）精选：判断函数通过fx的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点

为极值点，否则不是极值点

（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减

后增→极小值点

7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数

或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.

8、极值点与函数奇偶性的联系：