平面几何中几个重要定理的证明.pdf

平面几何中几个重要定理及其证明

一、塞瓦定理

1•塞瓦定理及其证明

定理：在ABC内一点P,该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC

三边AB、BC、CA于点D、F,且F三点均不是ABC的顶点，则有

E、

ADBECF

DBECFA

ADSADC

SADP

证明：运用面积比可得DBSSBDC

BDP

根据等比定理有

SADPSSADCSADP

ADCAPC

SBDCSBDCSSBPC

BDPBDP

ADBESCF

SAPCAPBSBPC

所以冋理可得

DSAPB

DBECSAPCFA

SBPC

ADBECF

三式相乘得DBECFA

注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就

可以产生出“边之比”.

2.塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F,且D、E、F均不是ABC

ADBEOf

1

的顶点,DBECFA,那么直线CD、AE、

BF三线共点.

证明：设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交

AB于点D,则据塞瓦定理有

/

ADZBECF

Z

DBECFA

所以有

DBECFA

ADADZ

/.由于点D、D都在线段AB上，所以点D与D重合.即得D、E、F三点

//

Z

DBDB

共线.

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证.

二、梅涅劳斯定理

3.梅涅劳斯定理及其证明

定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA

所在直线分别交于点D、

E、F,且D、E、F均不是

ABC的顶点，则有

ADBECF1

DBEC

证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于

点G.