有限元-第2讲 矩阵分析及弹性力学基础课件.pdf

第2讲矩阵算法及弹性力学基础

2.1矩阵算法

l线性方程组的表示

l行向量和列向量

l矩阵加、减、乘法运算

l矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵

l矩阵行列式

l矩阵求逆

l矩阵的微分和积分

l正定矩阵（正定二次型）

线性方程组的表示

求解方法：高斯消元法、迭代法

矩阵加、减、乘法运算

矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵

对称方阵

矩阵行列式

或

奇异矩阵(方阵)

矩阵的微分和积分

正定二次型

二次型：含有n个变量的二次齐次多项式

若取则

利用矩阵及其运算，二次型可表示为

A:对称矩阵

正定二次型：设为实二次型，如果对于

任意的非零实向量X，都有A:正定矩阵

二次型的微商

对向量x各元素的偏导数

2.2弹性力学基础

l关于弹性力学

l五个基本假定

l外力和内力

l应力、应变、位移

l指标记法和求和约定

l张量及Voigt标记

l平面问题基本方程及边界条件

l三维问题基本方程及边界条件

关于弹性力学

l弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作

用下内力和变形分布规律的一门学科。

力学学科各分支的关系

力学学科研究对象特征

中学力学质点无变形

理论力学质点系及刚体无变形

材料力学简单变形体(构件)小变形

结构力学数量众多的简单变形体小变形

弹性力学任意变形体小变形

弹塑性力学任意变形体任意变形

外力和内力

l体力—分布在物体体积内的力，例如重力

和惯性力。

l面力—分布在物体表面上的力，例如接触

压力、流体压力。

Ø分布力：连续分布在表面某一范围内

Ø集中力：分布力的作用面积很小时的简化

l内力—外力作用下，物体内部相连各部分

之间产生的相互作用力。

位移、应力、应变

对变形体受力和变形进行描述的基本变量

l位移——物体变形后的形状

l应力——物体的受力状态

l应变——物体的变形程度

位移

l位移就是位置的移动。物体内任意一点的

位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、

v、w表示。

显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即

通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小

平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。

一点的应力状态

无穷小正六面体,

六面体的各棱边

边平行于坐标轴

l第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表

示应力的作用方向。

l正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用

一个下标。

l应力分量的方