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瓷砖中的数学问题

河北省滦平县第六中学李嘉印

图1在生活中遇到了许多的问题，其实有很大一局部都和数学有关系．这给我们创造了众多的自主探索的好时机，使我们的聪明才智得到发挥．平时在家里、在商店里、在中心广场、进入宾馆、饭店等等许多地方都会看到瓷砖．他们通常都是有不同的形状和颜色．其实，这里面就有数学问题，本文称之为“瓷砖中的数学”．毕达哥拉斯有一次应邀参加餐会，这位主人的餐厅是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的〔如图1〕，黑白相间，非常美观大方．毕达哥拉斯在这些图案的启发下，发现了著名的“毕达哥拉斯定理”．

图1

一、瓷砖中概率问题

例1、图2是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖上，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是．

图2解析：此题是以瓷砖为背景考查学生对简单事件发生的概率的计算，应先确定黑色面积与总体面积．故蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是．

图2

二、瓷砖中归纳猜测问题

例2、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按图3的方式铺地板，那么第〔3〕个图形中有黑色瓷砖块，第个图形中需要黑色瓷砖________块〔用含的代数式表示〕．

(2)n

(2)

n=2

(3)

n=2

图3

n=2

……

解析：此题是观察图形的变化进行归纳与猜测，这是近几年中考中涌现出的新题型，主要是考查学生数学认识规律、概括规律和应用规律的能力．通过观察可知，第〔1〕个图形有4块黑色的瓷砖，第〔2〕个图形有7块黑色的瓷砖，第〔3〕个图形有10块黑色的瓷砖，依次类推，以后每个图形比前一个图形的黑色瓷砖多3块，所以第第个图形中需要黑色瓷砖〔3n+1〕块．

三、瓷砖中实验操作问题

图4例３、用四块如图4①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形．你在图②、图③、图④中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．

图4

解析：此题的考查目的是使学生在数学活动中，通过手脑并用，获得初步的体验，培养学生的实践能力和创新精神．方案设计如图５，答案不唯一．

图５

图５

四、瓷砖中综合应用问题

例4、某人定制了一批瓷砖，每块瓷砖〔如图6(1)所示〕是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，假设将此种瓷砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影局部组成四边形EFGH．

图6(2)ADFBE

图6

(2)

A

D

F

B

E

C

(1)

E

F

G

H

A

B

D

C

(2)E、F在什么位置时，定制这批瓷砖所需的材料费用最省？

解析：把合情推理与演绎推理有机地结合在一起,让学生通过观察、比拟、归纳、猜测、推理来解决问题，使学生经历了数学发现的全过程.解答如下:

(1)四边形EFGH是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示瓷砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的,故CE=CF=CG．∴△CEF是等腰直角三角形.因此四边形EFGH是正方形.

(2)设CE=x,那么BE=0.4－x,每块地砖的费用为y,那么

y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10]

=10(x-0.2x+0.24)

=10［(x-0.1)2+0.23］(0＜x＜0.4)．

当x=0.1时,y有最小值,即费用为最省,此时CE=CF=0.1．

答:当CE=CF=0.1米

例5、如图7，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察以下图形并解有关问题：

n

n=1

n=2

n=3

图7

〔1〕在第n个图中，每一横行共有_______块瓷砖，每个竖列共有______块瓷砖〔均用含n的代数式表示〕；

〔2〕设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与〔1〕中的n的函数关系式〔不要求写出自变量n的取值范围〕；

〔3〕按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

〔4〕假设黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题〔3〕中，共需花多少元钱购置瓷砖？

〔5〕是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？

解析：此题以瓷砖铺地为背景，把归纳与猜测、函数、方程等知识有机的结合起来，考查学生综合运用知识的能力．解答如下：

〔1〕n+3n+2

(2)即

〔3〕由题意可知，解得，n=20．

〔4〕观察图形可知黑色瓷砖的块数为：,白色瓷砖的块数为：

当n=20时，黑色瓷砖的块数为：=4×20+6=86，白色