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圆
模型(三十八)——垂径定理模型
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
◎结论:如图,CD是直径,CD⊥AB,则①MA=MB,②=
垂径定理中的五元素:
①过圆心;②垂直弦;③平分弦(不是直径);④平分优弧;⑤平分劣弧.
知二推三:这五个元素中,知道任意两个,可得其它三个.
【注意】平分弦(不是直径)的原因:任意两条直径互相平分,但无法推出垂直,
如图:
找残缺圆的圆心方法:知二推三组合
作法:在圆弧上找两条不平行的线段,圆心在弦的垂直平分线上,交点为O
1.(2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习)如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P为
半径OB的中点,若CD=6,则直径AB的长为()
A.23B.6C.43D.63
【答案】C
【分析】根据垂径定理可知AB垂直平分CD,连接OC,根据勾股定理即可求出半径OC,最后求出直径即
可.
【详解】解:如图,连接OC,
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
11
∴CP=CD=´6=3,
22
设⊙O的半径为r,
∵点P为OB中点,
1
∴OP=r,
2
在RtDOPC种,由勾股定理可得:OP2+PC2=OC2,
r222
即:()+3=r,解得:r=23或:r=-23(舍),
2
∴直径为43.
故选∶C.
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理,熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是
解题的关键.
22022··eOODABCAB=8CD=2eO
.(广东绿翠现代实验学校二模)如图,的半径垂直弦于点,若,,则
的半径为()
A.22B.3C.4D.5
【答案】D
AC=BC=4OA
【分析】根据垂径定理可,再利用勾股定理直接求的长,即可得出答案.
eOr
【详解】解:设半径为,
\OA=OD=r
QOD^AB,AB=8,
根据垂径定理得:
1
AC=AB=4,
2
°
Q
ÐACO=90,
Q在RtVAOC中,
222
OA=OC+AC,
QCD=2
\OC=OD-CD=r-2,
222
\r=r-2+4,
解r=5,
eO5
即的半径为.
故答案为:D.
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理,解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论,列式计算.
32022··AB⊙OCD^AB
.(湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习)如图,是的直径,弦
于点,ÐCDB=30°,⊙O的半径为,则弦CD的长为()
E
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