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《空间向量的应用》应试拓展

拓展1表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线的方向向量为,直线的方向向量为.平面的法向量分别为.

(1)线线平行:.

(2)线线垂直:.

(3)线面平行:.

(4)线面垂直:.

(5)面面平行:.

(6)面面垂直:.

【例1】如图所示,平面平面为正方形,是直角三角形,且分别是线段的中点.求证:平面.

证明:∵平面平面,且为正方形,是直角三角形,∴两两垂直.

以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,

∴.

设平面的法向量为,

则即

令,则为平面的一个法向量.

∵.

又∵平面平面.

【例2】如图所示,已知四棱锥的底面是直角梯形,,侧面底面.证明:平面平面.

证明:取的中点,连接为等边三角形,∴.

∵侧面底面为交线,平面,

∴底面.

以的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示.

不妨设,则,,则.

取的中点,连接,则,

∴,

∴,

∴,即.

又∵,

∴,即.

又∵平面平面.

∵平面平面平面.

拓展2空间距离的计算

空间两点间的距离

(1)设,用公式求解.

(2)设,则.

点到直线的距离

如图①,设为直线上一点,为直线的方向向量,在向量方向上的投影向量的模为,则点到直线的距离.

两平行直线之间的距离

如图②,两平行直线之间的距离可以看成直线上一点到直线的距离,则,其中是直线的方向向量.

异面直线之间的距离

如图③,设,直线的公共法向量为,则异面直线之间的距离为向量在方向上投影向量的模,即,其中.

点到平面的距离

如图④,设为平面的法向量,是平面的一条斜线,,则点到平面的距离等于向量在方向上投影向量的模,即.

直线到平面的距离、两平行平面的距离都可转化为点到平面的距离

如图⑤,直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离,即直线到平面的距离.

如图⑥,与平面平行的平面到平面的距离等于平面上一点到平面的距离,即.

【例3】如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面为直角梯形,其中.求点到平面的距离.

解:取的中点为,连接.分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设平面的法向量为.

因为,所以即

令,则,所以.

又因为,

所以点到平面的距离.

【关键技巧】在利用向量求点到平面的距离中,最重要的是能表示此点与平面内一点组成的向量及平面的法向量.由于向量有方向,所以要特别注意此点与平面内一点组成的向量与其平面的法向量的夹角.

拓展3空间角的计算

两条异面直线所成的角的求法

若异面直线所成的角为,其方向向量分别是,则.

【例4】在四面体中,,则异面直线与所成角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

解析:取的中点,连接.由,得,且.在中,,故.又,所以平面.以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示.则,.设异面直线与所成角为,则,即异面直线与所成角的余弦值为.

答案:B

直线与平面所成的角的求法

如图,直线与平面相交于点,设直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则.

【例5】如图,在四棱锥中,底面为菱形,底面是上的一点,.

(1)证明:平面;

(2)设二面角为,求与平面所成的角的大小.

(1)证明:以为坐标原点,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则,设,则.

于是,从而.故.又,所以平面.

(2)解:由(1)知.设平面的法向量为,则,即且.

令,则,故.

设平面的法向量为,

则,即且.

令,则,故.

因为二面角为,所以平面平面,所以,即,解得.于是,

所以,所以.

因为与平面所成的角与互余,所以与平面所成的角为.

【关键技巧】(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.

(2)求直线与平面所成的角,主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得,即.

二面角的求法

(1)利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,即为所求二面角的平面角.

(2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.

如图所示,二面角,平面的法向量为,平面的法向量为,则二面角的大小为或.

【例6】如图,四棱锥的底面为直角梯形,其中,底面是的中点.

(1)求证:平面.

(2)若平面,求二面角的余弦