2024届高三数学二轮专题复习 第3讲 二次函数Word版.docxVIP

第3讲二次函数

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1．函数称为关于的二次函数，其对称轴为直线．配方后形式为，其中．

2．当时（当时，请读者自己分析），方程

=1\*GB3①和不等式=2\*GB3②及=3\*GB3③与函数的关系如下（记）：

（1）当时，方程=1\*GB3①有两个不相等的实根，设，不等

=2\*GB3②和不等式=3\*GB3③的解集分别是或和，二次函数式的图像与轴有两个不同的交点，还可以写成（由这个形式可以推导出韦达定理，还可以推广到高次）．

（2）当时，方程=1\*GB3①有两个相等的实根，不等式

=2\*GB3②和不等式=3\*GB3③的解集分别是和空集，的图像与轴有唯一公共点．

（3）当时，方程=1\*GB3①无实数解，不等式=2\*GB3②和不等式=3\*GB3③的解集分别是和，的图像与轴无公共点．

3．二次函数的最值：若，当时，取最小值；若，则当时，取最大值．

当时，最值情况如下表所示：

4．二次函数恒成立问题：转化最值问题或者参变分离．

类型1：设，

（1）在上恒成立且；

（2）在上恒成立且．

类型2：

对一切恒成立．

【例1】已知对于的所有实数值，二次函数的值都是非负的，求关于的方程的根的取值范围．

【例2】已知函数，，为其最大值，为其最小值．

（1）求；

（2）若，求的值域．

【例3】，若只有一个实数根，求证：．

【例4】已知实系数二次函数和，若方程和都只有一个重根，方程有两个不等的实根，求证：方程没有实根．

【例5】设二次函数满足：

（1）当时，，且；

（2）当时，；

（3）在上的最小值为．求最大值，使得存在，只要，就有．

例6对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即．

（1）求证：；

（2）若，且，求实数的取值范围．

例7已知函数，其中．若恰好有两组解使得在定义域上的值域也为，求实数的取值范围．

【分析】所给函数是二次函数的形式，但含有绝对值，故需要考虑、的变化范围，设法去掉绝对值符号，再利用一元二次方程根的分布解决．

例8已知，在区间上恒成立，

（1）求证：当时，；

（2）求证：当时，；

（3）求的最大值．

同步练习

一、选择题

1．已知关于的方程有两个不同的实数根，则系数的取值范围是（）．

A．或 B． C．或 D．

2．已知，是方程（为实数）的两个实根，则的最大值为（）．

A．18 B．19 C．20 D．不存在

3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围为（）．

A． B． C． D．

4．已知二次函数，点．若存在两条都过点且互相垂直的直线和，它们与二次函数的图像都没有公共点，则的取值范围为（）．

A． B． C． D．

二、填空题

5．函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是．

6．已知集合，．若，且中恰有1个整数，则的取值范围为．

7．设函数，若方程在区间上有两个不等的实根，，则．

8．已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为．

三、解答题

9．（2014湖北预赛）当时，不等式恒成立，试求的最大值．

10．设二次函数，在区间上至少有一个零点，求的最小值．

11．已知函数在时有最大值，，并且当时，的取值范围为．试求、的值．

12．是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立?请给出结论，并加以证明．

13．已知函数，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点、，使成立，求的最小值．

14．设函数，集合，．

（1）证明：；

（2）当时，求；

（3）当只有一个元素时，求证：．

15．设正系数一元二次方程有实根，证明：

（1）；

（2）．

16．设为有理数，证明：仅存在有限多组满足，的整数，使得．

第3讲

【例1】

【分析】题目条件给出了的范围．

【解】由题目条件知，即，得．当时，原方程化为．

因为．所以，当时，；

当时，．所以．

当时，．所以，当时，；当时，．所以．

综上所述，．

评注用直接配方的方法解决二次函数的问题也比较方便．

【例2】

【分析】二次函数开口向上，对称轴为，故需要对与区间的位置关系进行分类讨论．

【解】（1）由题意知：当时，最小值；当时，最小值；当时，最小值；当时，最小值．

综上：

（2）当时，最大值；当时，最大值；当时，最大值；当时，最大值．所以，．

所以，．

所以，当时，；当时，；当时，；当时，．综上，的值域为．

评注二次函数“动轴定区间”的最值问题，分类讨论如何