cfd2011-2讲双曲型方程组.pptx

计算流体力学讲义2011第二讲双曲型方程组及间断解李新亮；力学所主楼219；知识点：双曲型方程的特征方程双曲型方程的弱解及熵条件Riemann间断解——精确解、近似解初步1讲义、课件上传至(流体中文网）-“流体论坛”-“CFD基础理论”下载地址2：

CopyrightbyLiXinliang2知识回顾1.流体力学基本方程概念：连续介质假设；Euler描述/Lagrange描述N-S方程——描述质量、动量、能量守恒的方程组流通量：单位时间内通过垂直于x/y/z轴单位面积的质量、动量、能量无量纲量：物理量与参考量（特征量）之比2.偏微分方程（组）及其类型解耦成N个独立的方程双曲型有N个实特征根（含重根）N个独立特征向量全部为复特征根有1个N重特征根独立特征变量数N抛物型椭圆型特征线；特征相容关系；

双曲方程边界条件提法方法：独立给定j个方程的边界条件如果lj0,则在左端给定vj的边界条件如果lj0,则在右端给定vj的边界条件ABj=1j=2CopyrightbyLiXinliang3一维Euler方程条件描述边界条件设定超音速入口给定3个边界条件亚音速入口给定2个边界条件超音速出口无需给定边界条件亚音速出口给定1个边界条件3

变系数方程组的情况令：令（行向量）在x-t空间引入曲线：满足：1.双曲型方程组的特征方程CopyrightbyLiXinliang4（变系数情况）虽然不能解耦，但能转换成常微方程组2.1双曲型方程组

CopyrightbyLiXinliang5若不考虑粘性，流体微团运动过程中熵不变；如果来流熵均匀分布，则全流场熵均匀分布例：一维等（均）熵运动预备知识：完全气体中的热力学量密度、压力、温度、熵、焓内能、声速只有两个独立变量（完全气体）仅与温度有关小常识：等熵（绝热）关系绝热与等温情况相比，气体更难压缩了等熵情况下，仅有一个独立的热力学变量；给定任何一个都意味着给定全部热力学量；

矩阵B的特征值若不考虑粘性，流体微团运动过程中熵不变；如果来流熵均匀分布，则全流场熵均匀分布均熵运动情况下，能量方程可用熵为常数替代一维均熵流动控制方程（Euler方程简化版）

沿特征线1：有：沿特征线1：R不变（1）转化为xt参数方程特征线参数方程寻找积分因子设注意：声速c是温度的函数，可不是常数！c2~T(c2就是温度啊！）绝热关系式

8知识点，牢记！一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变xt特征线1特征线2同理推导，沿特征线2：在（x,t）空间：沿特征线1：沿特征线2：ABC扰动源扰动向两侧传播扰动波以当地声速向两侧传播观测者感受到两侧的扰动

例2.1：有限振幅波的传播问题考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时刻（t=0）流动状态如下：试分析t=t0时刻的流动状态（假设流场不出现间断）不同时刻的速度分布（A=1）不同时刻的速度分布（A=0.01）思考题：小扰动的传播情况？数值解xt（1）（2）（3）（4）利用特征线，分析不同区域的差异等（均）熵情况下，同族特征线不会相交CopyrightbyLiXinliang9目的：学会如何运用Riemann不变量解题

CopyrightbyLiXinliang10一维扰动波的传播（上：A=1;下：A=0.01）大扰动，非线性波小扰动，线性波

基本解题思路：利用特征关系123xt解出x1,x2利用Riemann不变量得：解出xt（1）（2）（3）（4）区域（2），（4）未扰动区域（1）内的流动使用基本方法计算区域（3）内的计算可简化ABDCEFG(3)区内的波传播速度为常数，且在传播过程中物理量保持不变——简单波?特征线为直线注意：因而方程是非线性的给定x3,t3利用CopyrightbyLiXinliang11（假设t3充分小）解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻概念：简单波

区域（3）内扰动波的传播特点考虑（3）区内的,同属一条特征线M上的任意两个点4和5：由于点1和点3均在未扰动区：xt（1）（2）（3）（4）12345M在（3）区内，所有物理量（u,c）沿特征线M不变特征保持直线，特征波传播速度不变简单波CopyrightbyLiXinliang12

CopyrightbyLiXinliang13各区物理含义xt（1）（2）（3）（4）x扰动