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专训2巧作平行线结构相像三角形

名师点金：解题时，常常会碰到要证的问题与相像三角形联系不上或许说图中根本不

存在相像三角形的状况，增添协助线结构相像三角形是这种几何证明题的一种重要方

法．常作的协助线有以下几种：(1)由比率式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)依据比率式，结

构相像三角形．

巧连线段的中点结构相像三角形

1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三平分点，D是AC的中点，BD分别

交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.

过极点作平行线结构相像三角形

2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝，取CF的中点

BE的值．

D，连结AD并延伸交BC于点E，求EC

1

过一边上的点作平行线结构相像三角形

3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝

BPBD

AE，直线DE和BC的延伸线交于点P.求证：CP＝EC.

过一点作平行线结构相像三角形

1

4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝AB，连结

4

EM并延伸交BC的延伸线于点D.求证：BC＝2CD.

2

参照答案

1．解：如图，连结DF，∵E，F是边BC上的两个三平分点，

∴BE＝EF＝FC.

∵D是AC的中点，∴AD＝CD.

∴DF是△ACE的中位线．

1

∴DF∥AE，且DF＝AE.

2

∴DF∥PE.

∴∠BEP＝∠BFD.

又∵∠EBP为公共角，

BEBP

∴△BEP∽△BFD.∴BF＝BD.

∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE.

∵DF∥AE，

∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.

PQAP

∴△APQ∽△FDQ.∴QD＝DF.

设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.

∴PQQD＝APDF＝

∴BPPQQD＝

(第1题)(第2题)

2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延伸线于点G.

∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.

又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.

∠DAF＝∠G，

在△ADF和△GDC中，∠ADF＝∠CDG，DF＝

CD，

∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.

∵BFAF＝，∴ABAF＝

∵AB∥CG，∴∠CGE＝∠BAE，∠BCE＝∠ABE.

∴△ABE∽△GCE.

3

BEABAB5

∴＝＝＝.

ECCGAF2

(