弹塑性力学第02章课件.pdf

第二章弹性力学基本理论

§2-1一点的应力状态

§2-2平衡微分方程

§2-3几何方程

§2-4物理方程

§2-5弹性力学的基本方程及其边值问题

§2-6应变协调方程

§2-7弹性力学问题的基本解法解的唯一性

定理

§2-8圣维南原理

§2-1一点的应力状态

面力

体力

集中力

应力

一点处应力状态的描述方法.

一、一点处应力状态的张量表示

•一点的应力状态可以用9个

应力分量来表示。

•应力的第一个下标表示作用

面方位，第二个下标表示它

的方向。（正应力的2个下

标相同简写为1个）

•正负号规定：当微分面外法

线指向与坐标轴正方向一致

时，这些应力分量以沿坐标

轴正方向为正；当微分面外

法线指向与坐标轴负方向一

致，则这些应力分量以沿坐由于切应力互等，上述9个分

标轴负方向为正。与上述情

量中只有6个是独立的。

况相反，则为负的应力。

应力张量

所谓张量是指在坐标变换

时，按某种指定形式变化的量。

在给定的受力情况下，各

应力分量的大小与坐标轴的方

向有关，而它们作为一个整体

用来表示一点应力状态的这一

物理量(称为应力张量)则与坐

标的选择无关，张量的分量随

坐标的变换而变化。应力张量

是二阶对称张量。

6个应力分量将完全确定一

点的应力状态。

二、斜截面上的应力

2-6

Easycome,easygo.

Exercises

§2-2平衡微分方程与应力边界条件

一、平衡微分方程

纳维（Navier）方程

u，v，w称为位移分量

二、应力边界条件

A点平衡，图（b），得：

B点平衡得：

2-2试叙述平衡微分方程和静力边界条件

的物理意义，满足平衡微分方程和静力

边界条件的应力是否是实际存在的应力

？为什么？

2-11一个任意形状的物体，其表面受均

匀压力p作用，如果不计其体力，试验证

应力分量

是否满足平衡微分方程和该问题的应力

边界条件？

§2-3几何方程

几何方程

柯西（Cauchy）方程

如不计物体的刚体运动部分，在小变形假设的前提下，由

物体变形而引起的微分六面体在方位上的转动是极其微小的，

见图（a）。因而在推导位移分量与应变分量之间的几何关系

式时，用这三条棱边在坐标平面上的投影长度代替它们的实际

长度，用它们在坐标平面投影之间的夹角代替实际的夹角，这

样的处理不会引起明显的误差，见图（b）。

几何意义?

一、以应力表示应变的广义虎克定律

二、以应变表示应力的广义虎克定律

λ，μ称为拉

梅（Lamé）弹

性系数

称为体积应变

三、以体积应变表示体积应力的虎克定律

称为体积应力

E是杨氏（Young）弹性模量，

是泊松（Poisson）比。

G为剪切弹性模量

三类边界条件

（1）在全部边界上已知面力

（弹性力学的第一类边值问题）（在S上）

（2）在全部边界S上已知边界位移

（弹性力学的第二类边值问题）