公务员考试——容斥原理问题.pdfVIP

知识框架

数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。

在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种

类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、

整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只

要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。

供学习参考

核心点拨

1、题型简介

容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的局部，从而使得

计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。

2、核心知识

〔1〕两个集合容斥关系

〔2〕三个集合容斥关系

A、标准型公式

B、图示标数型〔文氏图法〕

供学习参考

画图法核心步骤：

1画圈图；

2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；

③做计算。

C、整体重复型

A、B、C分别代表三个集合〔比方“分别满足三个条件的元素数量〞〕；

W代表元素总量〔比方“至少满足三个条件之一的元素的总量〞〕；

x代表元素数量1〔比方“满足一个条件的元素数量〞〕；

y代表元素数量2〔比方“满足两个条件的元素数量〞〕；

z代表元素数量3〔比方“满足三个条件的元素数量〞〕。

3、核心知识使用详解

〔1〕容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。

〔2〕容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反响题中集合之间的关系。

〔3〕容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，

抓住不确定的。

夯实根底

供学习参考

1.两个集合容斥关系

例1：(2007年中央第50题)

小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人

都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有〔〕。

A.3道

B.4道

C.5道

D.6道

【答案】

D

【解析】

[题钥]

由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。

“小明答对的题目占题目总数的〞，相当于集合A为。

“小强答对了27道题〞，相当于集合B为27。

“他们两人都答对的题目占题目总数的〞，相当于集合。

“两人都没有答对的题目〞，相当于求集合。

[解析]

根据题意，

确定元素总量W：；

供学习参考

确定集合A：；

确定集合B：27；

确定集合：；

代入两集合公式：

＝＝

因为和均为题数，须均为正整数，所以必须为12的倍数，而且由选项知：

3≤≤6

当W＝12时，＝－16，不合题意；

当W＝24时，＝－5，不合题意；

当W＝36时，＝6，符合题意。

所以，两人都没答对的题目为6道。

因此，选B。

2.三个集合容斥关系

例2：〔浙江行测真题〕

供学习参考

某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选

修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、

乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？(