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第4讲幂函数、指数函数与对数函数
知识方法扫描
一、指数函数及其性质
形如的函数叫作指数函数,其定义域为,值域为.当时,是减函数,当时,为增函数,它的图像恒过定点.
二、分数指数幂
三、对数函数及其性质
对数函数的定义域为,值域为,图像过定点.它是指数函数的反函数,所有性质均可由指数函数的性质导出.当时,为减函数,当时,为增函数.
四、对数的运算性质
(1)(这是定义);
(2);
(3);
(4);
(5)(换底公式).
由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论:
1);2).
典型例题剖析
例1已知是方程的根,是方程的根,求的值.
例2已知,,,求的值.
例3已知函数,试解不等式.
例4设方程仅有一个实根,求的取值范围.
例5解不等式.
例6解不等式:.
例7已知证明:.
例8设函数,实数,满足,,求、的值.
同步训练
一、选择题
1.已知、是方程的两个根,则().
A. B. C. D.
2.已知函数为常数,),且,则的值是().
A.8 B.4 C. D.
3.如果,则使的的取值范围为().
A. B. C. D.
4.若的值域为,则的取值范围是().
A. B. C.或 D.或
二、填空题
5.设,则满足的的取值范围是.
6.设,,,,则与的大小关系为.
7.设,则不等式的解集为.
8.设,则.
三、解答题
9.已知函数的反函数是,而且函数的图像与函数的图像关于点对称.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在上有意义,求的取值范围.
10.设,其中且.若在区间上恒成立,求的取值范围.
11.解方程组,(其中.
12.已知.
(1)解方程;
(2)求集合的子集个数.
13.已知,,试求使得方程有解的的取值范围.
14.已知,,求的首位数字.
15.已知,,试判断实数与的大小关系,并证明之.
16.解不等式.
第4讲
例1
【解法1】由题意得,表明是函数与的交点的横坐标,是函数
与的交点的横坐标.因为与互为反函数,其图像关于对称,由得,,所以,所以.
【解法2】构造函数,由知,即,则,于是,又为上的增函数,故,.
【解法3】由题意得,两式相减有.若,则,得,矛盾;若,则,得,矛盾;而当时,满足题意.
【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法,解法2巧妙地利用了函数的单调性,解法3巧妙地利用了反证法的技巧.
例2
【解法1】设,则,,.
由于故,解得:(负根舍去).
【解法2】设,则,,.
,而,故,即,
故(负根舍去).
【评注】对数运算和指数运算互为逆运算,有关对数的运算和处理,往往可以转化为指数的运算和处理.
例3【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合.初看不易解决,但可以发现该函数在其定义域内单调递减,这是本题的解题关键.
【解】易证函数在其定义域内是单调减函数.并且,所以原不等式即为等价于或.
【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法.
例4【分析】本题要注意函数的定义域.
【解法1】当且仅当
时原方程仅有一个实根,对方程③使用求根公式,得 ④
或.
当时,由方程③,得所以,同为负根.
又由方程程④知所以原方程有一个解.
当时,原方程有一个解.
当时,由方程③,得
所以,同为正根,且,不合题意,舍去.
综上所述可得或为所求.
【解法2】由题意,方程,也即方程在满足关于的不等式的范围内有唯一实数根,以下分两种情况讨论:
(1)当时,在范围内有唯一实数根,则有;
(2)当时,在范围内有唯一实数根,则有.
综上可得或为所求.
【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题.
例6【分析】若考虑到去根号,可设,原不等式变为,即,陷入困境.
原不等式即,设,则,同样陷入困境.下面用整体代换.
【解】设,则,代人原不等式,有
,,,
由指数函数的单调性知,则.故原不等式的解集为.
例7【证法1】注意到
.
【证法2】设,,则,于是原不等式等价于,
即,即,也即
也即,由知,所以,得证.
因为,所以,
所以
即
【评注】若令,,则原不等式等价于:设,求证:
.
例8【分析】利用已知条件构建关于、的二元方程组进行求解.
【解】因为,所以
所以,或,又因为,所以+2,所以
又由于,于是,所以
,
从而
,
又,所以,故.
解得或(舍去).
把代故,解得.
所以,.
1.【答案】.
【解析】原方程变形为,即.令,则,解得.所以或,方程的两根分别为和,所以.故选.
2.【答案】.
【解析】由已知可得
,
又
,
令,则有.从而有
,
即知,.
3.【答案】.
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