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探究与二倍角有关的问题

北京市中关村中学 潘晓娜

一、教学目标

一、教学目标

1．能依据已知条件添加适当辅助线，把二倍角转化为等角.

通过画图、证明，在动手操作和推理论证的过程中体会轴对称在研究二倍

通过画图、证明，在动手操作和推理论证的过程中体会轴对称在研究二倍

角问题中的作用.

通过探究，激发学生的探究意识，体会与人分享的快乐，培养严谨的数学学习习惯.

二、教学重难点

【教学重点】依据题目条件,合理添加辅助线.

【教学难点】二倍角条件如何利用．

三、 学情分析

1.学生已有知识：全等三角形，三种全等变换（平移、轴对称、旋转）.

1.学生已有知识：全等三角形，三种全等变换（平移、轴对称、旋转）.

2.学生基本情况：本次授课班级是普通平行班，学生基本掌握了全等三角形的

性质和判定，能利用已有的全等三角形证明两个角相等、两条线段相等，但对

于几何问题的推理和辅助线的添加仍存在困难，所以本节课需要在教师的有效引导下完成.

3.本节课是全等复习课的第三课时，前面已经复习了全等三角形的性质、判定

及简单应用.

四、教学过程

四、教学过程

1.

活动1.动手画一画

[问题1]：你能尺规作图作出一个等腰△ABC，使?B??C吗？找学生说出作图的方法：

A

B C

[问题2]:在△ABC中，?B??C,你能尺规作图作出一个△ABC，使?B?2?C

吗？学生思考.

让学生说思路:可以先做出一个等腰三角形MBC,尺规作图作出?C的角平分线与MB的交点为点A.

A

A

B C

[师]：在刚才的画图中，我们其实是先画出倍角?B，再作出?B的角平分线，得到了半角?C，同学们课下思考一下，我们能否先作出半角?C，再作出倍角?B呢？你还有别的做法吗？

【设计意图】：画出符合条件?B?2?C的△ABC对学生而言本身就是一个难点，增加这个画图环节，为下面的例题做铺垫，使学生在今后的学习中注重图形形成过程，画出符合条件的三角形方法很多，这是最简单的方法，让学生能比较容易理解和掌握.

2.

活动2.动脑筋证一证

[问题3]：已知如图,?ABC中，?B?2?C，AD平分?BAC求证:AB?BD?AC.

A

B D C

预设学生会比较快出来方法1，让学生来讲讲他的思路，法1：

A

12

3E

B D4 C

和学生一起梳理思考过程，实际上这种证明方法是转移了倍角的位置，再利用了二倍角的条件，从而解决问题.如果学生说上面的证法是从AD平分?BAC这个条件翻折考虑的，那么提出

[问题4]：既然可以将AB翻折到AE,那还有别的证明方法吗？

如果学生说是从结论入手，在AC上截取AE?AB,那么提出问题：

[问题5]：除了可以在AC上截取之外，还有别的方法吗？引导学生给出

法2： A

12

法3：

A

412

3

B 4D C

3

E B D C

E

此时教师和学生在共同分析挖掘这种方法的本质，实际上是转移了半角的位置，再利用了二倍角的条件，在上面两种证明方法中，我们分别转移了倍角或半角，

1

但都是找到了一个?4，满足?4??C?2?B,提出下面的问题：

[问题6]：满足上述条件的?4还可以怎样构造出来？

如果学生想不出来，可以换种方式引导，法2中在AB上补出AC,那我们可以在

BD上补出AC吗？同学们试试看？引出方法3.

学生在找符合条件的?4时，也可能会出现以下证法：

A

12 F

E

B 4 D C

首先肯定学生的想法，但要证明出来还要过E作EG//BC交AC于点G,留作学生课下思考.

法4：

A

12 F

E G

4

B D C

【设计意图】：

要证明两条线段之和等于另一条线段，可以考虑截长或补短，那如何截、如何补，就要关注题目中所给条件，本题中给了AD平分?BAC,所以尝试在AC上截AE?AB,或在AB的延长线上补AE?AC,构造轴对称全等.

前三种方法都出现了以下这个基本图形,等腰三角形的顶角外角是底角的2倍，第4种方法则是直接构造了等腰△FBC,出现了等角，为同学们以后处理2倍角问题也提供了思路.

E

F G

课堂小结

如何依据题目的条件添加辅助线？

出现角平分线

出现2倍角

出现线段和差与另一线段相等

教学反思：平面几何中常出现“三角形的一个内角为另一个内角二倍”即“二倍角”的条件，学生遇到这样的问题通常感觉难度较大，无从下手，于是选择在教学过程中根据学生学习中的难点，设计了本节课。

设计思路：

基于我在几何画板上画例题的图时，画出?

基于我在几何画板上画例题的图时，画出?ABC