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函数
知识点一函数定义域
例题1:求函数的定义域。
例题2:(1)已知函数的定义域为【-2,3】,求函数y=f(2x-3)的定义域;
(2)已知函数的的定义域是[-2,3],求函数的定义域。
知识点二:函数值及其值域
求函数值域,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法:
(1)观察法∶通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域;
(2)配方法∶若函数是二次函数,即可化为(a≠0)型的函数,则可通过配方并结合二次函数性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最大(小)值的求法;
(3)换元法∶通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化为几个简单的函数,从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域;
(4)分离常数法∶此方法主要是针对有理分式.即将有理分式转化为反比例函数的形式,便于求值域。
例题:求下列函数的值域∶
y=x+1,x{1,2,3,4,5};
y=x2-2x+3,[0,3);
(3)
(4)
变式练习:
求下列函数的值域。
f(x)=(x-1)2+1,x{-1,0,1,2,3};
(2)f(x)=x2-2x+2;
(3)
(4)
能力提升练习题:
1、若函数的定义域和值城都是R,则a的值为()。
A.3或-1B.3C.-1D.不确定
2、已知定义在R上的函数满足,,则()
A、-2B、2C、6D、10
3、函数
(1)若f(x)的定义城为【-2,1】,求实数a的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围。
知识点3:函数解析式的求法
1.已知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,可用待定系数法∶根据函数类型先设出函数解析式,再利用条件列出方程(组),解方程(组)求出待定系数,最后代入函数解析式即可。
2.未知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,要根据条件的特点选择不同的方法进行求解,常见的方法有:换元法、配凑法、方程组法等。
例1:(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,则函数f(x)的解析式为。
(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则函数f(x)的解析式为。
例2:(1)已知,求;
(2)已知,求;
(3)已知,求。
变式练习:
1、已知函数f(x)满足af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式。
2、根据下列条件,求f(x)的解析式。
(1),其中f(x)为一次函数;
(2)
知识点4:如何解决分段函数问题
分段函数问题的解决方法是分段思考,即根据自变量所在定义域内的不同范围,选择不同的解析式,利用此解析式解决问题,最后还要由自变量所在范围检验。
例题3:(1)已知实数,函数若f(1-a)=f(1+a),则a的值为____;
(2)已知,若,则x的取值范围是。
变式练习:
1、已知函数的定义域与值域相同,则常数a=()。
A.3B.-3C、D、-
2、已知函数
(1)求f(-5),,的值;
(2)若,求实数a的值。
已知函数
解不等式f(x)1;
若f(x)+t0对任意实数x都成立,求实数t的取值范围。
知识点5:函数图像及其应用
画函数图像的一般方法:
(1)直接法∶当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图像的关键点,直接作出图像;
(2)图像变换法:若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,并注意平移变换与伸缩变换的顺序对解析式的影响。
例:做出下列函数的图像:
;
;
变式练习:
1、已知函数则下列函数图像正确的是()
知识点六:函数的单调性
1、在函数y=f(x)定义域内的一个区间A上,如果对于任意的x1,x2A,且x1x2
若或,则函数y=f(x)在区间A上递增;
若或,则函数y=f(x)在区间A上递减。
例1:求函数的单调递增区间。
2、函数单调性的判定与证明方法:
①运用定义证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间上,任取x1,x2,且在x1x2的条件下,确定f(x1)与f(x2)的大小,要牢记五大步骤∶取值→作差→变形→定号→小结。解题的关键是变形,记住下列变形的手段:整式——因式分解、配方,分式——通分加减,根式—-有理化。
单调性的判定可用图像法等手段。
②复合函数的
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