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整体性思维在解题中的应用

有许多数学题，若单独求解很困难，或者很繁琐。若认真分析题意、

仔细观察结构，研究问题的整体形式、整体结构，运用整体性思维，往往

能顺利而又简洁地解决问题。现举几例如下：

1、整体求值

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例1、已知m是一元二次方程x－2x－1=0的根,求m－2m的值。

2

分析本题若把m代入方程，求出两个无理根，再把m的值代入m－2m

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求值，显然麻烦且容易出错。我们把m－2m看做一个整体，由m－2m

2

－1=0，可直接求得m－2m=1

2、整体代入

1

22

例2、已知x－5x－1=0，求x+2－11的值.

x

2

分析：如果从方程x－5x－1=0中解出两个无理根，再代入求值，计算

2

复杂，现把x=5x+1视作整体代入，则使求值简便。

11

222

解：由x－5x－1=0，得x=5x+1，所以x+2—11=5x+1+－11

5x1

x

16(5x1)

==16.

5x1

3、整体求积

例3、在Rt⊿ABC中，∠C=90°,AC+BC=6,AB=5.求S⊿ABC.

分析若求出AC和BC的值，再计算S⊿ABC，则很麻烦。

由于S⊿ABC=1AC·BC,所以我们只要能求出AC·BC的值就可以了。

2

222

解由AC+BC=6,得（AC+BC）=6,所以，AC+BC+2AC·BC=6,由勾

1

222

股定理得，AC+BC=AB=5，所以，AC·BC=，

2

11

因此，S⊿ABC=AC·BC=。

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4、变0代入

12009

32009

例4、当x=时，求式子(4x-2019x-2009)的值。

2

分析若直接代入x的值，计算将很难进行下去。

解由x=12009，得2x-1=2009，两边平方整理得：