研究生数理统计复习题.pdf.doc

习题一

1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，它服从均值为l的泊松分布，从产品中抽一个容量为n的样本X1,X2,L,Xn，求样本的分布.

解样本(X1,X2,L,Xn)的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为

n

n

ki

P(X1=k1,X2=k2,L,Xn=kn)=?P(Xi=ki)=

?

l

e-l

i=1

i=1ki!

e-nl

n

=

∑ki

li=1

ki=0,1,L，i=1,2,L,n,

k1!k2!...kn!

2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/l的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件零件构成一个容量为n的样本，求样本分布。

解零件的加工时间为总体X，那么X~E(l)，其概率密度为

-lx

,x0,

f(x)=le

0,x￡0.

于是样本(X1,X2,L,Xn)的密度为

n

n

-l∑xi

f(x1,x2,K,xn)=?le-lxi

=lnei=1

,

xi0

i=1,2,L,n

i=1

,

其它.

0

3．一批产品中有成品L个，次品M个，总计N=L+M个。今从中取容量为2的样本〔非简单样本〕，求样本分布。

解总体X~(0-1)，即P(X=0)=

L

,P(X=1)=

M

N

N

于是样本(X1,

X2)的分布如下

L-1

P(X1

=0,X2

=0)=

L

×

，P(X1

=0,X2=1)=

L

×

M

N

N-1

N

N-1

P(X1

=1,X2

=0)=

M

×

L

，P(X1

=1,X2

=1)=

M

×

M-1

N-1

N

N-1

N

4．设总体X的容量为100的样本观察值如下：

15

20

15

20

25

25

30

15

30

25

15

30

25

35

30

35

20

35

30

25

20

30

20

25

35

30

25

20

30

25

35

25

15

25

35

25

25

30

35

25

35

20

30

30

15

30

40

30

40

15

25

40

20

25

20

15

20

25

25

40

25

25

40

35

25

30

20

35

20

15

35

25

25

30

25

30

25

30

43

25

43

22

20

23

20

25

15

25

20

25

30

43

35

45

30

45

30

45

45

35

作总体X的直方图

解样本值的最小值为15，最大值为45取a=，b=，为保证每个小区间内都包含假设干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。用唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数ni，列表如下：

分组区间

频数ni

频率ni/n

—

10

—

16

—

29

—

20

—

4

—

9

—

2

—

10

S

100

以组距4为底，以ni

/4n为高作矩形即得X的直方图

jn(x)

0

5．某射手独立重复地进行20次打靶试验，击中靶子的环数如下：

环数

10

9

8

7

6

5

4

频数

2

3

0

9

4

0

2

X表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求X的经验分布函数，并画出其图像。

设X的经验分布函数为Fn(x)那么

0,

x4,

2

,

4￡x5,

20

2

1

,

5￡x6,

20

6

,

6￡x7,

20

F(x)=

n

15

,

7￡x8,

20

15

8￡x9,

,

20

0

4

5

6

7

8

9

10

18

,

9￡x10,

20

1,

x310.

6．设X1,X2,L,Xn是来自总体X的简单随机样本，EXk=ak(k=1,2,3,4)证

明当n充分大时，随机变量Zn=1∑nXi2近似服从正态分布，并指出其分布参数.ni=1

证因X1,X2,L,Xn独立同分布，所以所以X12,X22,L,Xn2独立同分布，EXi2=a2，DXi2=EXi4-(EXi2)2=a4-a22，由独立同分布下的中心极限定理〔列维一林德贝格定

理〕，当n充分大时

∑Xi2-na2n

1

2

1

n

n

n

ni=1

i=1

=

=

ni=1

a4-