人教版（B版）高中数学选择性必修第2册 70 随机变量的数字特征（1）.pptVIP

随机变量的数字特征（1）

高二年级数学

若P(X=xk)=pk，，则此表称为X的概率分布或分布列．复习引入离散型随机变量X的分布列：Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn

情境与问题：一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元.设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么?

分析：成功的概率p，指的是如果重复这个创业项目足够多次（设为n次），那么成功的次数可以用np来估计，而失败的次数可以估计为n(1-p).因此，在这n次试验中，投资方收益（单位：万元）的n个数据估计为5000，5000，…，5000，-3000，-3000，…，-3000，np个n(1-p)个

这一组数的平均数为因为上述平均数体现的是平均收益，所以不难想到，当，即时，应该对创业项目进行资助.

另一方面，如果设投资公司的收益为X万元，则X这个随机变量的分布列如下表所示.从上面的分析看出，式子刻画了X取值的平均水平.X5000-3000Pp1-p

则称为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）．如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn

求离散型随机变量的期望的步骤：求随机变量的分布列求随机变量的期望求随机变量的所有可能取值；利用期望的定义．分别求出相应的概率值；写出分布列．

例题已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).解:随机变量X服从两点分布，其分布列为：所以E(X)=p.X01P1-pp

（1）二项分布的均值如果随机变量X~B(n,p)，则

（2）超几何分布的均值若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则

例题一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．

分析学生甲每一道题是否选择正确是互相独立的，并且每道题选对的概率相同，因此这是独立重复试验．学生乙也是如此．设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2，则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，根据二项分布的均值公式，容易求得X1和X2的均值．

分析但是题目中问的是成绩的均值，相当于是问E(5X1)和E(5X2)，它们和E(X1)，E(X2)有什么关系呢？

随机变量均值的性质已知随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量．那么，X与Y的均值之间有什么联系呢？

由X与Y之间分布列的关系可知

例题20个选择题，4选1，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．甲选对一题的概率为0.9，乙选对一题的概率为0.25．分别求甲和乙成绩的均值．

解：设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2，则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，所以

由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2．这样，他们在测验中成绩的均值分别是

例题体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：

方案甲：逐个检查每位体检人的血液；方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.（1）哪种化验方案更好？（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.

解：（1）方案甲中，化验的次数一定是5次.方案乙中，若记化验的次数为X，则X的取值范围为{1,6}.因为5人都不患病的概率为(1-0.1)5=0.59049,所以P(X=1)=0.59049,P(X=6)=1-0.59049=0.40951,

从而E(X)=1×0.59049+6×0.40951=3