人教版（B版）高中数学选择性必修第1册 45 直线与圆锥曲线的位置关系（3）.pptVIP

直线与圆锥曲线的位置关系（3）

高二年级数学

【回顾】前面两节课，我们从代数和几何两个方面研究了如何判断直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切及相离.从这节课开始，我们将继续研究在不同位置关系状态下的一些几何量的计算与证明，比如：弦长、中点、垂直、面积等等，同时探索解题过程中的运算思路.

【新课】解题的思维方式第一步分析清楚问题第二步拟定解决方案第三步实施解决方案第四步检验解决过程

【例题】例1.已知直线l的方程：与抛物线C：相交于A，B两点，且O为坐标原点.（1）求弦长；（2）判断是否成立，并说明理由.

根据题意，画出图形.【分析】第一步：先分析清楚需要解决什么问题.

【分析】第一步：先分析清楚需要解决什么问题.Q1：要求解的问题是：弦长；向量垂直.Q2：已有的条件：直线与抛物线方程.

【分析】第二步：拟定解决方案.Q1：是否解过一样或类似问题？弦长——两交点间距离.Q2：有哪些概念与定理、公式可以辅助解决？

【分析】第二步：拟定解决方案.Q3：还需要什么呢？两交点的坐标.Q4：问题可以重新描述为：“已知直线与抛物线的方程，求它们交点的坐标.”

【分析】第三步：实施解决方案.解：（方法一）（1）联立直线与抛物线的方程，可得方程组

解：（方法一）（1）联立直线与抛物线的方程，可得方程组解方程，可得：代入①，则有：

解：即直线与抛物线两交点的坐标为所以，弦长

解：即直线与抛物线两交点的坐标为所以，弦长（2）不妨设则所以不成立

求出交点坐标

求出交点坐标

【分析】第四步：检验解决过程.Q1：检查每一步推导的逻辑是否正确.Q2：反思.思路简单顺畅，计算量较大思考是否还有其他方案？

【分析】第四步：检验解决过程——其他解法？设，则则因为，所以

【分析】第四步：检验解决过程——其他解法？利用根与系数关系简化运算（1）（2）

解：（方法二）设（1）则因为，所以则“设而不求”

解：（方法二）设（1）则由其中，“设而不求”

解：（方法二）设（1）则由所以“设而不求”

解：（方法二）设（1）即“设而不求”

所以解：（方法二）设（2）因为所以不成立.“设而不求”

设而不求借助“根与系数关系”

借助“根与系数关系”

【分析】第四步：检验解决过程——“设而不求”法求弦长的推广？（1）若直线斜率不存在，则可设直线方程为：设交点坐标为：代入曲线方程易求得纵坐标的值，则弦长

【分析】第四步：检验解决过程.——“设而不求”法求弦长的推广？（2）若直线斜率存在，则可设直线方程为：设交点坐标分别为：则，由于，

【分析】第四步：检验解决过程.——“设而不求”法求弦长的推广？（2）若直线斜率存在，则可设直线方程为：设交点坐标分别为：所以，即：

【分析】第四步：检验解决过程.——“设而不求”法求弦长的推广？（2）设曲线C：联立直线与曲线方程：若直线与曲线有两个交点，则有，

【分析】第四步：检验解决过程.——“设而不求”法求弦长的推广？（2）联立直线与曲线方程：根据根与系数关系，

【例题】