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模型介绍
二、求线段之和的最小值
已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,
在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解)
(1)点A、B在直线m两侧:
过A点作AC/7m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P
点,此时P、Q即为所求的点.
A.
(2)点A、B在直线m同侧:
A
m
pQ
过A点作AE〃m,且AE长等于PQ长,作B关于ni的对称点B,,连接BE,交直线m于Q,Q
向左平移PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点.
例题精讲
【例1】.如图,已知A(3,1),B(1,0),PQ是直线y=x上的一条动线段且P2=V2(2
在P的下方),当AP+PQ+QB取最小值时,点Q坐标为—
解:作点8关于直线=尤的对称点B(0,1),过点A作直线,并沿枷向下平移扼
单位后得A(2,0)
连接AB交直线y=x于点Q
,N‘
理由如下:・.・4,=FQ=扼,AA//PQ,
.•・四边形AP0V是平行四边形.
:.AP=AQ.
9:AP+PQ+QB=FQ+AQ+PQ且PQ=^2.
..•当AQ^Q值最小时,AP+PQ+QB值最小.
根据两点之间线段最短,即A,Q,9三点共线时AQ+BQ值最小.
VB(0,1),4(2,0),
.•・直线的解析式丁=-yX+1.
.*.%=-—x+1.艮|3x~~,
23
・.・Q点坐标(£,§)•
33
故答案是:(£,g)・
33
A变式训
【变1-11.如图,在平面直角坐标系中,。为原点,点A,C,E的坐标分别为(0,4),(8,
0),(8,2),点P,。是C边上的两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最
小,则点尸的坐标为()
A.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D.(5,0)
解:如图,将点E(8,2)往左平移2个单位得到F(6,2),贝8EF=2=PQ,EF//PQ,
.•・四边形EFPQ是平行四边形,
:.FP=QE,
作点尸关于x轴的对称点尸,连接尸尸,
则PF=PF,F(6,-2),
・.・当点A、P、E在同一直线上上时,AP+PF最小,
即AP+EQ最小,
VA(0,4),F(6,-2),
「・直线AF1解析式:y=-x+4,
:.P(4,0),
故选:C.
【变1-2].A、B两村之间隔一条河,现在要在河上架一座桥.
(1)要使这两村A、B之间的行程最短,桥应修在何处?请帮他们设计出来.
(2)若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米,河宽为30米,AC=40米,你能
求出两村的最短路程吗?若能,请求出来.
B|C
解:(1)桥应该建在如图所示MN处,四边形AMKN是平行四边形.
(2)作MHLBC垂足为H.
两村A、8之间的最短路程=AN+KN+BK,
.・・四边形AMKN是平行四边形,
・・・AN=MK,
在RTABMH中,VBH=70,MH=40,
bm=Vmh2+bh2=10V65,
:・AN+KN*BK=BM+KN=l(h/65+30,
「・两村的最短路程为(10顼65+30)米.
【例2】.如图,平面直角坐标系中,直线x+8分别交x轴,y轴于A,B两点,点C
为的中点,点。在第二象限,且四边形AOCD为矩形.动点P为CD上一点,PHL
OA,垂足为H,点。是点B关于点A的对称点,当BP+PH+HQ值最小时,点P的坐标
理由是:..•直线y=-|x+8分别交、轴,y轴于A,8两点,点C为OB的中点,
:.OB=S,A=6,C=4f
连接如,CH,H
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