直线与圆解答题解析版.doc

1．H2，H4[2013·新课标全国卷Ⅱ]在平面直角坐标系xOy中，圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3).

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)假设P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．

1．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.

由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.

故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.

(2)设P(x0，y0)，由得

eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).

又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1.))

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.))

此时，圆P的半径r＝eq\r(3).

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))

此时，圆P的半径r＝eq\r(3).

故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.

2．(2012·福州调研)⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．

(1)假设|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，求|MQ|及直线MQ的方程；

(2)求证：直线AB恒过定点．

2．解：(1)设直线MQ交AB于点P，那么|AP|＝eq\f(2\r(2),3)，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝eq\r(12－\f(8,9))＝eq\f(1,3)，

又∵|MQ|＝eq\f(|MA|2,|MP|)，∴|MQ|＝3.

设Q(x,0)，而点M(0,2)，由eq\r(x2＋22)＝3，得x＝±eq\r(5)，

那么Q点的坐标为(eq\r(5)，0)或(－eq\r(5)，0)．

从而直线MQ的方程为2x＋eq\r(5)y－2eq\r(5)＝0或2x－eq\r(5)y＋2eq\r(5)＝0.

(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).

3．直线l1：4x＋y＝0，直线l2：x＋y－1＝0以及l2上一点P(3，－2)．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．

3．解：设圆心为C(a，b)，半径为r，依题意，得b＝－4a

又PC⊥l2，直线l2的斜率k2＝－1，∴过P，C两点的直线的斜率kPC＝eq\f(－2－?－4a?,3－a)＝1，解得a＝1，b＝－4，r＝|PC|＝2eq\r(2).

故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

4．点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.

(1)假设过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；

(2)假设过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2eq\r(3)，求a的值．

5．圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．

6．在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

4．解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，那么点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±eq\r(3).

当a＝eq\r(3)时，A(1，eq\r(3))，切线方程为x＋eq\r(3)y－4＝0；

当a＝－eq\r(3)时，A(1，－eq\r(3))，切线方程为x－eq\r(3)y－4＝0，

∴a＝eq\r(3)时，切线方程为x＋eq\r(3)y－4＝0，

a＝－eq\r(3)时，切线方程为x－eq\r(3)y－4＝0.

(2)设直线方程为x＋y＝b，

由于直线过点A，∴1＋a＝b，a＝b－1.

又圆心到直线的距离d＝eq\f(|b|,\r(2))，

∴(eq\f(|b|,\r(2)))2＋(eq\f(2\r(3),