北师大版高中数学课件必修第1册第二章 章末整合.pptVIP

章末整合第二章

内容索引0102知识网络系统构建题型突破深化提升

知识网络系统构建

题型突破深化提升

专题一几种特殊函数模型的应用1.一元二次函数例1已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在区间[2,3]上的值域为[2,5].(1)求a,b的值;(2)若关于x的函数g(x)=f(x)-(m+1)x在区间[2,4]上为单调函数,求实数m的取值范围.

解(1)∵f(x)=a(x-1)2+2+b-a,且a0,∴函数f(x)的图象开口向上且对称轴为直线x=1.∴函数f(x)在[2,3]上单调递增.(2)由(1)知a=1,b=0,∴f(x)=x2-2x+2.

故实数m的取值范围是(-∞,1]∪[5,+∞).方法技巧解决一元二次函数在某区间上的单调性、值域、最值问题,关键是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论,一般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解.

变式训练1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.(1)当a=1时,f(-1)=;?(2)若f(x)的值域为R,则a的取值范围是.?

解析(1)已知a=1,∴当x0时,f(x)=x2-2x+3.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2.(2)由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0.又当x0时,f(x)图象的对称轴为直线x=a,∴若f(x)的值域为R,∴a≥2或a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).答案(1)-2(2)(-∞,-2]∪[2,+∞)

2.分段函数例2已知函数f(x)=则满足不等式f(1-x)f(2x)的x的取值范围是.?分析解决有关分段函数的不等式问题的一般方法是根据自变量所在范围及与之对应的函数,化成不含“f”的不等式求解,此时一般需分多种情况进行讨论.若给定的分段函数具有一定的单调性,则可利用单调性去掉符号“f”,运用这种方法求解往往比较简便.

变式训练2已知函数f(x)=且f(x)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解(1)设x0,则-x0,∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.∵f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x),∴当x0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(图略)知解得1a≤3.故实数a的取值范围是(1,3].

3.“双曲”函数例3画出函数y=的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在[-1,2]上的值域.分析用“分离常数法”将原函数转化成反比例函数类型.

4.“对勾”函数(1)直接写出m的值及该函数的定义域、值域和奇偶性;(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.

(3)图象如图所示.这个函数的图象形如两个对勾,因此,我们称它为“对勾”函数.

专题二利用函数单调性求函数的最值例5已知函数f(x)=x+,x∈[1,3].(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.解(1)设x1,x2是区间[1,3]上的任意两个实数,且x1x2,∵x1x2,∴x1-x20.当1≤x1x2≤2时,1x1x24,

∴f(x1)f(x2),即f(x)在[1,2]上单调递减.当2≤x1x2≤3时,4x1x29,

∴f(x1)f(x2),即f(x)在[2,3]上单调递增.∴f(x)的最大值为5.

方法技巧利用定义证明函数的单调性,作差变形要“彻底”,也就是说,要转化为几个因式相乘的形式,且每个因式都能够利用题设条件判断其符号.在证明单调性时,其一般流程为取值、作差、变形、判断符号、结论,最后再借助最值与单调性的关系,写出最值.

变式训练3已知函数f(x)=x2-2x+3在[0,a](a0)上最大值为3,最小值为2,求实数a的取值范围.解f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.当0a1时,函数f(x)=(x-1)2+2在[0,a]上单调递减,故最大值为f(0)=3,最小值为f(a)=a2-2a+3=(a-1)2+22.所以0a1不合题意.当a≥1时,函数f(x)=(x-1)2+2在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,故最小值为f(1)=2.又因为f(0)=3,所以f(0)≥f(a).

此时,函数f(x)=x2-2x+3在[0,a]上的