人教版（B版）高中数学选择性必修第1册 34 椭圆的几何性质（1）.pptVIP

椭圆的几何性质（1）

高二年级数学

问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；（2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称；（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.

问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；

解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在中，必有，即.同理可得，.

解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在中，必有，即.同理可得，.因此，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内.

问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称；这些几何特征如何从方程角度来进行判别呢？

解（2）因为如果是方程的一组解，则不难看出，、、都是方程的解，这说明椭圆关于轴，轴，坐标原点对称.

问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.

解（3）在方程中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，.

问题1小结通过上面的研究，我们首先得到了椭圆的横、纵坐标的取值范围，之后又清楚了椭圆的对称性，再之后我们得到了椭圆与坐标轴的四个交点的坐标，这样我们就可以轻松的绘制椭圆了.

问题2一般地，如果椭圆的标准方程是，我们可以根据方程得到椭圆什么样的几何性质呢？

椭圆的几何性质——范围由方程①可知，且，因此且.这说明，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内.

椭圆的几何性质——对称性因为如果是方程①的一组解，则、、都是方程①的解，说明椭圆关于轴、轴、坐标原点对称.因此，轴、轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.

椭圆的几何性质——顶点在方程①中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，记作，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，记作，.

椭圆的几何性质——顶点因此，椭圆与它的对称轴共有4个交点，即，和，，这四个点都称为椭圆的顶点.我们可以发现，，而且，所以线段称为椭圆的长轴，线段称为椭圆的短轴.

椭圆的几何性质——顶点，分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为，则是椭圆的半焦距.由于，可知长度分别为，，的三条线段构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边.

椭圆的几何性质——顶点因此，，，，.

椭圆的几何性质——离心率一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率.

问题3（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围；（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.

问题3（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取值范围就需要研究和之间的关系.我们知道根据椭圆的定义，而，由此，我们是不是可以得出椭圆离心率的取值范围了呢？

问题3（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;解：（1）因为，，所以，，即椭圆的离心率.

问题3（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试