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2.2.2数函数及其性
1.数式x=logN中,a的取范是a___0_且___a_a_≠_1_,N的取范是_____.N02.log1(a0,且a≠1)=_0_.a3.一般地,我把函数y=ax(a0且a≠1)叫做____函数,它的定域R,域(_0___+__∞_)_,把指数式y=a化数式x=logy.xa
1.对数函数的概念y=logx(a0,a≠1)__是自变量.函数_________________叫做对数函数,其中ax2.对数函数的图象与性质定y=logx(a0,且a≠1)a底数a1a01
定域(0,+∞)R性增函数减函数共点性(1,0)a点______,即log1=0x∈(0,1),x∈(0,1),(-∞,0)(0,+∞)函数y∈_________;y∈_________;特点x∈[1,+∞),x∈[1,+∞),[0,+∞)(-∞,0]y∈_________;y∈__________;
x
答案:(2,5]
4.求函数y=log(2x-1),x∈[2,14]的最.3解析:因为2≤x≤14,所以3≤2x-1≤27,令t=2x-1因为函数y=logt在区间[3,27]内是增函数,3所以log3≤logt≤log27,即1≤y≤3.333故此函数在区间[2,14]上的最小值为1,最大值为3.
由目可取以下主要信息:①所函数中有些形似数函数的函数;②此主要考数函数的定.,解答本可根据数函数的定找其足的条件.
[解题过程](5)是对数函数;(1)中真数不是自变量x,∴不是对数函数;(2)中logx前的系数是5,而不是1,∴不是对数2函数;(3)中对数式后减1,∴不是对数函数;(4)中底数是自变量x,而非常数a,∴不是对数函数;(6)中真数是x,不是自变量x,∴不是对数函2数.
[题后感悟]一个函数为对数函数的条件是:①系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③真数为单个自变量x.
解析:④为对数函数.①中真数不是自变量x,不是对数函数;②中对数式后减1,∴不是对数函数;③中logx前的系数是2,而不是1,∴不是对数8函数.
答案:C
注意到x既存在于底数中,又存在于真数中,解答本题结合对数的概念,应考虑其各自的要求解出x满足的条件.
◎求log(3x+2)中的x的取范.(1-2x)【错因】本题错解的原因是忽视对数底数的限制范围.底数1-2x需大于零且不等于1.
由题目可获取以下主要信息:(1)中底数相同,真数不同;(2)中底数不同,真数相同;(3)(4)中底数与真数各不相同.解答本题可考虑利用对数函数的单调性或图象求解.
[解题过程](1)因为函数y=logx在(0,+∞)上2是增函数,π0.9,所以logπlog0.9.22(2)由于log0.3log1=0,log0.3log1=0,220.20.2所以log0.3log0.3.20.2(3)3log5=log5=log125,2log3=log81,∵对数函数y=logx在(0,+∞)上是增函数,∴log125log81,即3log52log3.34442444442
[题后感悟]1.对数值的大小比较利用函数的单调性进行对数值的大小比较,常用的方法:(1)若底数为同一常数,则可利用对数函数的单调性进行判断;(2)若底数为同一字母,则可按对数函数的单调性对底数进行分类讨论;(3)若底数不同,真数相同,则可利用对数函数的图象或利用换底公式化为同底,再作比较.(4)若底数、真数均不相同,则可借助中间值-1,0,1等作比较.
1.比下列各数中两个的大小.(1)log3与log3.5;22(2)log5与log5;23(3)logπ与log0.8.32
解析:(1)∵y=logx在(0,+∞)内是增函数,2且3<3.5,∴log3<log3.5.22(2)考查对数函数y=logx和y=logx,23当x>1时,y=logx的图象在y=logx图象上方(23即底大图低),这里x=5,故log5>log5.23(3)找中间量“搭桥”.∵logπ>log3=1,log0.8<log2=1,3322∴logπ>log0.8.22
答案:C
[策略点睛]
[题后感悟]如何解同底对数不等式与对数方程?①a1时,logf(x)logg(x)?f(x)g(x)0.aa②0a1时,logf(x)logg(x)?0f(x)g(x).aa③a0,a≠1时,logf(x)=logg(x)?f(x)=g(x)aa且f(x)0,g(x)0.
3.解不等式log(2x+3)log(5x-6).aa
[题后感悟]定义域是研究函数的基础,若已知
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