备考2024高考一轮总复习数学人教a版第八章§8.6　直线与椭圆.docxVIP

§8.6直线与椭圆

考试要求1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．

知识梳理

1．直线与椭圆的位置判断

将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交?Δ0；直线与椭圆相切?Δ＝0；直线与椭圆相离?Δ0.

2．弦长公式

设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])

或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[?y1＋y2?2－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.

常用结论

已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．

(1)通径的长度为eq\f(2b2,a).

(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)

(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.

(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).

(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).

(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(√)

(2)直线y＝x与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1一定相交．(√)

(3)直线y＝x－1被椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1截得的弦长为eq\r(2).(×)

(4)过椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).(×)

教材改编题

1．直线y＝x＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是()

A．相交 B．相切

C．相离 D．无法判断

答案A

解析方法一(通解)联立直线与椭圆的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))

消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．

方法二(优解)直线过点(0,1)，而0＋eq\f(1,4)＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．

2．已知斜率为1的直线l过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为()

A.eq\f(4,5) B.eq\f(6,5)

C.eq\f(8,5) D.eq\f(13,5)

答案C

解析由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，

所以右焦点坐标为(eq\r(3)，0)，

则直线l的方程为y＝x－eq\r(3)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))

消y得，5x2－8eq\r(3)x＋8＝0，

则x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq\f(8,5)，

所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)

＝eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),5)))2－4×\f(8,5))＝eq\f(8,5).

即弦AB的长为eq\f(8,5).

3．已知椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．

答案eq\f(y2,4)＋x2＝1

解析因为椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1的右顶点为A(1,0)，

所以b＝1，

因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，

所以eq\f(2b2,a)＝1，a＝2，

所以椭圆方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.

题型一直线与椭圆的位置关系

例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：