备考2024高中数学一轮基础复习45利用空间向量求空间角.docxVIP

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课时作业45利用空间向量求空间角

[基础落实练]

一、选择题

1．[2022·漠河市高级中学高三月考]如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则EF与C1D1所成角的余弦值为()

A．eq\f(\r(3),9)B．eq\f(\r(6),6)

C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(6),3)

2．[2022·陕西宝鸡市高三模拟]已知圆锥的顶点为P，高和底面的半径之比为eq\r(2)∶1，设AB是底面的一条直径，C为底面圆周上一点，且∠BAC＝eq\f(π,6)，则异面直线PB与AC所成的角为()

A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)

C．eq\f(π,4)D．eq\f(5π,12)

3．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝eq\f(1,3)AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()

A．eq\f(3\r(35),35)B．eq\f(2\r(7),7)

C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(2),4)

4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则该二面角的大小为()

A．150°B．45°

C．60°D．120°

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()

A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)

C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(2),2)

二、填空题

6.

如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________．

7.

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2eq\r(2)，E，F分别是AB，AP的中点，则二面角F-OE-A的余弦值为________．

8．[2022·浙江嘉兴市高三模拟]三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝eq\r(6)，点Q为平面ABC内的动点，且满足PQ＝eq\r(3)，记直线PQ与直线AB所成角为θ，则sinθ的取值范围为________．

三、解答题

9．[2022·上海复旦附中高三模拟]如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是正三角形，△ADC是等腰直角三角形，∠ADC＝90°，AB＝BD＝2.

(1)求证：AC⊥BD；

(2)若点E为BD的中点，求BD与平面ACE所成角的大小．

10．[2021·全国甲卷]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.

(1)证明：BF⊥DE；

(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

[素养提升练]

11．[2022·安徽六安市六安一中高三模拟]如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝eq\r(2)CD＝BC＝2.

(1)求证：CD⊥平面PBD；

(2)若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为eq\f(\r(3),3)，求二面角B-PC-D的余弦值．

12.[2022·四川成都市树德中学高三模拟]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点，侧面AA1C1C是菱形，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E.

(1)证明四边形BB1ED为矩形；

(2)若AB与平面AA1C1C所成角的正切值为eq\f(\r(6),2)，求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．

[培优创新练]

13．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D