2024年中考数学二次函数压轴题专题12 菱形的存在性问题（教师版） .pdf

专题12菱形的存在性问题

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作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：

(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(3)四边都相等的四边形是菱形.

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直

或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCQ是菱形，则其4个点坐标需满足：

工人++XD

Zi+%=%+为

」(Xa-Xb¥+3-%)2=+3c-%)2

考虑到互相垂直的两条直线斜率之为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.

即才艮据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

(1)2个定点+1个半动点+1个全动点

(2)1个定点+3个半动点

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1:先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+O8+Q”(AC、BQ为对角线)，再结合一组邻边相等，得

到方程组.

思路2:先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，

再确定第4个点.

1.看个例子：

如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,B点坐标为（5,4）,点。在尤轴上，点。在平面中，求。点坐标，使

得以A、B、C＞。为顶点的四边形是菱形.

2

B

A

思路1：先平四，再菱形

设。点坐标为（秫，0）,。点坐标为（p,q）.

（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CQ互相平分及AC=BC）

39

m=一

8

l+5=m+p

9

1+4=0+q,解得:p=-

8

(m-1)2+(0-1)2=(m-5)2+(0-4)2=5

（2）当AC对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）

1+秫=5+pm=2fm=8

l+0=4+,解得：Q=-2或p=4

(1-5)2+(1—4)2=(秫—5)2+(0—4)2q=—3q=—3

（3）当AD为对角线时，由题意得：

1+p=5+mm=1+2^/^m=1-2^6

解得：L=5+2#L=5-2^

l+q=4+0,

(1-5)2+(1—4)2=(1—弑+(1—0)2q=3q—3

思路2:先等腰，再菱形

先求点G点C满足