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《点集拓扑》教学大纲

大纲说明

课程代码：4935011

总学时：48学时

总学分：3学分

适用对象：数学与应用数学专业（本科）

一、课程性质、目的和任务

《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而形成一个集合的拓扑结构。进而又讨论了在这一框架下空间的性质,如连续映射、连通性、可数性公理、分离公理、紧性等问题。拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。它在许多数学分支中有广泛的应用。现在，点集拓扑已经发展成一门内容丰富、方法系统、体系完备、应用广泛的分支。通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。

二、课程教学的基本要求：

本课程应重视基本概念的正确理解，基本理论的系统阐述以及基本运算能力的严格训练。教学内容的选择应努力贯彻少而精的原则。

三、教学重点与难点：

本课程的重点是集合论基础；拓扑结构与基本概念；序列与极限；连续同胚映射；难点是选择公理与良序原理。连通性、可数性、分离性、紧性等。

四、本课程的知识范围及相关课程的关系：

《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它在许多数学分支中有广泛的应用。通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。

五、教学方法和教学手段的建议：

以教师讲授为主，学生课堂练习为辅，再配以多媒体课件协助教学；通过批改作业动态了解学生的学习状况，对个别的学生课外加以辅导。

六、本课程的主要内容：

本课程主要介绍集合论、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等概念和性质。

七、大纲的使用说明：

本大纲参照高等教育出版社的《点集拓扑讲义》（第二版）熊金城主编，适用高等师范院校数学系、理工专业选用，不同的专业可根据需要适当删节处理。

大纲正文

第一章集合论初步学时：8学时

§1.1集合的基本概念。

§1.2集合的基本运算

§1.3关系

§1.4等价关系

§1.5映射

§1.6集族及其运算

§1.7可数集、不可数集，基数

§1.8选择公理

第二章拓扑空间与连续映射学时：16学时

§2.1度量空间与连续映射

§2.2拓扑空间与连续映射

§2.3邻域与邻域系

§2.4导集、闭集、闭包

§2.5内部，边界

§2.6基和子基

§2.7拓扑空间中的序列

第三章子空间，(有限)积空间，商空间学时：4学时

§3.1子空间

§3.2(有限)积空间

§3.3商空间

第四章连通性学时：8学时

§4.1连通空间

§4.2连通性的某些简单应用

§4.3连通分支

§4.4局部连通空间

§4.5道路连通空间

第五章有关可数性公理学时：4学时

§5.1第一和第二可数性公理

第六章分离性公理学时：4学时

§6.1，Hausdorff空间

第七章紧致性学时：4学时

§7.1紧致空间

课时数分配表

章

内容

时数

一

集合论初步

8

二

拓扑空间与连续映射

16

三

子空间，(有限)积空间，商空间

4

四

连通性

8

五

有关可数性公理

4

六

分离性公理

4

七

紧致性

4

总计

48

本课程对学生自学的要求：要求学生花足够多的时间进行预复习，认真独立完成作业，适当看一些参考书。

教材的选用：

熊金城编，《点集拓扑讲义》，高等教育出版社出版，1998年

教学参考书：

1．李传孝编，《一般拓扑学导引》，高等教育出版社出版。

2．J.L.Kelley著，吴从欣、吴让泉译，《一般拓扑学》。

3．方嘉琳编著，《点集拓扑学》

4．蒲保明等编，《拓扑学》