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清华大学贾仲孝老师高等数值分析复习资料

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1.(2012.1)Housholder和Givens变换对一个3*3的矩阵做QR分解，按步骤做。A对称。

(2009.3)A为三阶对称矩阵

(1)用Givens正交相似变换，变为对称三角矩阵。

(2)用Householder正交化方法进行QR分解。

(2008.3)令A=()

分别用Givens变换和Householder变换计算A的QR分解。

031



A042,



211

Householder

Givens见第7题。

2.(2012.2)(1).证Rayleigh商收敛于主特征值，参考讲义。

(2).幂法算主特征值对应的主特征向量，按步骤做，一般的初值都是一步收敛。

，、均为向量，的秩为

(2011.5)A=uv’uvA1.

证明为的特征值

(1)u’vA

(2)A还有哪些其他的特征值。答案：0

(3)用幂法求A的主特征值，几步可以收敛？为什么？答案：1步

(2009.5)(1)叙述求特征值的幂法。证明：当特征值向量方向的误差sin(准确特征向量和近似特征向量)=ek的时候，

相应特征值的误差为0(ek2)

111

(2)用幂法求矩阵[111]的主特征值和主特征向量。这道题是05年秩为1的问题的变形，其秩也为1，看出他

111

1

1

只有0和u’v=3两个特征值。3是主特征值，对应的特征向量是*[1]。所以可以一开始就把其初始向量选为和[1

√3

1

11]相同方向的向量，一步就发现收敛。

(2008.6)令A=(−)

−

−

取初始向量=(,,)，用幂法准确计算A的主特征值和主特征向量。

√

(2011.5)(1)=v’u(2)=v’u==(3)一步收敛

AuvT

1)证明：Au=uv’u=u(v’u)=(v’u)u（即）故(v’u,u)为特征对

TT

Auuvuu(vu)

′

2)解：因为A的秩为1，所以=和n-1个0

3)解：因为幂法收敛速度==所以一步收敛

完全一样的另一种写法：

1)

(2009.5)(1)

(2)A