第10讲 用配方法求解一元二次方程-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第10讲用配方法求解一元二次方程

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n0)的方程；

2．会用配方法解一元二次方程进行配方及求解；

3．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．

知识点一、直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.

要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

知识点二、配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

知识点三、配方法的应用

1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

考点一：直接开平方法解一元二次方程

例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：

(1)；(2)．

【答案】(1)，

(2)，

【分析】本题考查解一元二次方程：

（1）利用直接开平方法求解；

（2）先移项，再利用直接开平方法求解．

【详解】（1）解：，

，

∴，

∴，；

（2）解：，

，

∴，

∴，．

【变式1-1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程：．

【答案】，

【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．利用直接开平方法求解即可．

【详解】解：

或

∴，．

【变式1-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：．

【答案】或

【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，

方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；

【详解】解：

或，

解得或．

【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：

(1)；(2)．

【答案】(1)，

(2)，

【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则．

（1）移项，得．

两边同除以9，得．

两边同时开平方，得或，

∴，．

（2）直接开平方，得

或，

∴，．

考点二：直接开平方法解一元二次方程的条件

例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）

A． B．同号 C．的整数倍 D．异号

【答案】D

【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．

【详解】解：，

则，

∵，

∴，

∵，，

∴为异号，

故选：．

【变式2-1】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答