第05讲 正方形的性质-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第05讲正方形的性质

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；

2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．

一、正方形的定义

定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

考点一：正方形性质的理解

例1．（23-24八年级下·河南周口·期中）下列关于正方形的说法错误的是（????）

A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角

B．正方形有四条对称轴

C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等

D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等

【答案】D

【分析】本题考查了正方形的性质，解题的关键是了解正方形的性质．利用正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】解：A：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，故A正确，不符合题意；

B：正方形有四条对称轴，故B正确，不符合题意；

C：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，故C正确，不符合题意；

D：由于正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，所以正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离一定相等，故D错误，符合题意；

【变式1-1】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（???）

A．四条边都相等 B．都是轴对称图形

C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分

【答案】B

【分析】本题考查的知识点是菱形、矩形、正方形的性质，解题关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质．

根据菱形、矩形、正方形性质对选项进行逐一判断即可求解．

【详解】解：根据菱形、矩形、正方形的性质可得：

选项，菱形、正方形四条边都相等，矩形四条边不都相等，不符合题意，选项错误；

选项，菱形、矩形、正方形都是轴对称图形，符合题意，选项正确；

选项，菱形、正方形对角线互相垂直且互相平分，矩形对角线互相平分但不互相垂直，不符合题意，选项错误；

选项，菱形对角线互相平分但不相等，矩形、正方形对角线相等且互相平分，不符合题意，选项错误．

故选：．

【变式1-2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（）

A．对角线平分一组对角 B．对角线相等

C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等

【答案】B

【分析】本题考查了菱形与正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形与正方形的性质．要熟练掌握菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答．

【详解】解：A．正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故本选项不符合题意；

B．正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；

C．正方形和菱形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意；

D．正方形和菱形都是四条边相等，故本选项不符合题意；

故选B．

【变式1-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（????）

A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．四个角都是直角

【答案】A

【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，熟知矩形、正方形的性质是解题的关键．

【详解】解：矩形具有的性质为对角线互相平分，对角线相等，四个角都是直角，

正方形具有的性质为对角线互相平分且垂直，对角线相等，四个角都是直角，

故选：A．

考点二：根据正方形的性质求角度

例2.（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，得到，等边三角形的性质，得到，进而得到，等边对等角，求出的度数即可．

【详解】解：∵正方形，

∴，

∵等边三角形，

∴，

∴，，

∴；

故选C．

【变式2-1】（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（