第04讲 矩形的判定-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第04讲矩形的判定

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达；

2．能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。

矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

考点一：矩形的判定定理理解

例1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）下列说法正确的是（?????）

A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键．根据矩形的判定定理逐项分析即可．

【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意;

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项符合题意；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项不符合题意；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以D选项不符合题意；

故选：B．

【变式1-1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（????）

A．测量两组对角是否互补 B．测量对角线是否相等

C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．根据矩形的判定定理判定即可．

【详解】解：A、测量两组对角是否互补，不能判定四边形的形状，故本选项不符合题意；

B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意；

C、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不一定是矩形，故本选项不符合题意；

D、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故本选项符合题意．

故选：D．

【变式1-2】（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）下列说法错误的是（?????）

A．对角线互相平分的四边形是矩形

B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

D．三个角是直角的四边形是矩形

【答案】A

【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．

【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

D、三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

故选：A．

【变式1-3】（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（???）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断即可．

【详解】解：如图，

∵，

∴四边形是平行四边形，

又，

∴平行四边形是矩形，故A不符合题意；

∵，

根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形是矩形，

故B不符合题意；

∵，

∴，

但不一定与相等，无法判定四边形是矩形，

故C符合题意；

∵，

∴，

∴四边形是矩形，故D不符合题意；

故选：C．

考点二：添一条件使四边形是矩形

例2.（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长度应为．???

【答案】3

【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可解答，熟知相关判定方法是解题的关键．

【详解】解：四边形为平行四边形，

，

要使平行四边形为矩形，则需要,

的长度应为，

故答案为：3．

【变式2-1】（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是．

【答案】不唯一

【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考