第03讲 勾股定理的应用-2024年新八年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第03讲勾股定理的应用

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题；

2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。

知识点1：勾股定理应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.

知识点2：平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解

考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度

例1．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？

【变式1-1】（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图1是篮球架侧面示意图，小明为了测量篮板的长度，设计了如下方案：

如图2，垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处．测量得竹竿的长为5米，的长为3米，的长为4米．根据以上测量结果，请你帮助小明求出篮板的长度．

【变式1-2】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）一架长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．

(1)如图，，，求这架梯子的顶端距地面有多高？

(2)如图，如果梯子靠墙下移，底端向右移动至点处，求它的顶端A沿墙下移多少米？

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【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，一个梯子长为5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C之间的距离是4米．

(1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离．

(2)如图2，将梯子的底端B向C方向挪动1米，若在墙的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？

考点二：应用勾股定理解决旗杆高度

例2.（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）．

(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度；

(2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）．

【变式2-1】（23-24八年级下·湖北荆门·期中）为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度．

【变式2-2】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米．

(1)求旗杆的高度；

(2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，且小迪与旗杆的水平距离相等，即．求小迪需要后退的距离的长度(结果保留根号)．

【变式2-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．

(1)求风筝的垂直高度；

(2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

(3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由．

考点三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离

例3.（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面