第07讲 模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第07讲模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形

中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.

常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后两类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.

模型1：直角三角形斜边中线模型

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图1，若AD为斜边上的中线，则：

（1）；（2），为等腰三角形；（3），．

图1图2

拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）．

模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）

模型2：中点四边形模型

中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.

中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.

结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．

如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形.

图1图2图3图4

结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）

如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形.

结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）

如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形.

结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．

如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形.

推广与应用

1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.

2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的.

【题型一利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】

例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是．

【答案】/106度

【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到E点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出．

【详解】解：连接，

，

由作法得垂直平分，

∴E点为的中点，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【变式1-1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是斜边上的中线，度，则度．

【答案】70

【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在中，根据是斜边上的中线，得，可求出即可解决问题．

【详解】解：在中，

是斜边上的中线，

，

，

，

故答案为：70．

【变式1-2】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在和中，，为的中点，连接，，若，则．

【答案】/40度

【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，三角形的内角和与外角的性质，连接，根据斜边上的中线的性质，得到，根据三角形的外角得到，再根据等边对等角，进行求解即可．

【详解】解：连接，

∵，为的中点，

∴，

∴，

∴，

即：

∵，

∴．

故答案为：．

【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，平分，，点，分别为，的中点，，，则的度数为（用含的式子表示）．

【答案】

【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形中位线定理、直角三角形的性质、等边对等角，求出，结合角平分线的定义得出，由直角三角形的性质得出，由等边对等角得出，推出，由三角形中位线定理得出，即可得出答案．

【详解】解：∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∵，为的中点，，

∴，

∴，

∴，

∵点，分别为，的中点，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【题型二利用斜