第06讲 正方形的判定-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第06讲正方形的判定

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别；

2．能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。

一、正方形的判定

1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；

2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；

3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.

二、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

考点一：正方形的判定定理理解

例1．（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（?????）

A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形

C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形

【答案】A

【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．

【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；

B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；

C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；

D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；

故选：A．

【变式1-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（?????）

A．①对角相等 B．②对角线互相垂直

C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等

【答案】A

【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．

【详解】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；

C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；

D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．

故选：A．

【变式1-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（????）

A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形

C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形

【答案】D

【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．

根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．

【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；

B、四边形是平行四边形，，

四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；

D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．

故选：D．

【变式1-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，真命题的个数是（????）

①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形；

②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④对角线相等且互相平分的四边形是菱形；

⑤四个内角都相等的四边形是矩形；

⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断①；利用平行四边形的判定判断②、③；利用矩形、菱形的判定判断③、④；利用正方形的判定判断⑤即可．

【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题；

②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边