第01讲 探索勾股定理-2024年新八年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第01讲探索勾股定理

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；

2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；

3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。

知识点01勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：，，.

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段

知识点02勾股定理证明

（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

考点一：已知直角三角形的两边，求第三边长

例1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是．

【变式1-1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为．

【变式1-2】（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角中，，，则的长为

【变式1-3】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为．

考点二：以直角三角形三边为边长的图形面积

例2.（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为．

【变式2-1】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为．

【变式2-2】（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为．

【变式2-3】（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为．

考点三：等面积法求直接斜边上的高问题

例3.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是．

【变式3-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为．

【变式3-2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝．

【变式3-3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为．

??

考点四：勾股定理与无理数

例4.（23-24八年级下·河南濮阳·期中）如图，点A表示的实数是（??????）

????

A． B． C．1 D．

【变式4-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（????）

A． B． C． D．

【变式4-2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（????）

A． B． C． D．

【变式4-3】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（????）

A． B． C． D．

考点五：勾股定理与折叠问题

例5.（23-24八年级下·黑龙江哈