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第03讲矩形的性质
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系;
2.掌握矩形的概念与有关性质,会用这些知识进行简单的推理与计算;
3.在了解矩形与平行四边形之间的关系,掌握、运用矩形性质的过程中,渗透数形结合、转化化归与方程思想,进一步提高分析问题与解决问题的能力。
一、矩形的定义
定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点:矩形定义的两个要素:①是平行四边形;②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形,然后增加一个角是直角这个特殊条件.
二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面:
1.矩形具有平行四边形的所有性质;
2.矩形的对角线相等;
3.矩形的四个角都是直角;
4.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.
要点:(1)矩形是特殊的平行四边形,因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
(2)矩形也是轴对称图形,有两条对称轴(分别通过对边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).
(3)矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质,从而矩形的性质可以归结为从三个方面看:从边看,矩形对边平行且相等;从角看,矩形四个角都是直角;从对角线看,矩形的对角线互相平分且相等.
考点一:矩形性质理解
例1.(2023·重庆沙坪坝·模拟预测)下列命题正确的是()
A.矩形的四个角都相等 B.矩形的四条边都相等
C.矩形的对角线互相垂直 D.矩形的对角线平分内角
【答案】A
【分析】本题考查真假命题的判断、矩形的性质,根据矩形的角、边、对角线的特点逐项判断即可.
【详解】解:A、矩形的四个角都相等,正确,符合题意;
B、矩形的四条边不相等,故原命题错误,不符合题意;
C、矩形的对角线相等但不垂直,故原命题错误,不符合题意;
D、矩形的对角线相等但不平分内角,故原命题错误,不符合题意;
故选A.
【变式1-1】(23-24八年级下·广东江门·期中)菱形具有而矩形不一定具有的性质是(???)
A.对角相等 B.邻角互补 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质.根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形,所以平行四边形所具有的性质,矩形和菱形都具有,故可得出答案.
【详解】解:∵矩形和菱形是平行四边形,
∴A、B、C是二者都具有的性质,
∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质.
故选:D.
【变式1-2】(23-24八年级下·河南濮阳·期中)矩形不一定具有的性质是(??????)
A.对角线垂直 B.四个角都是直角 C.是轴对称图形 D.对角线相等
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质,熟练掌握矩形的性质是解题的关键.根据矩形的性质:对边相等且平行,四个角都是直角,对角线平分且相等,矩形既是中心对称图形也是轴对称图形,根据性质判断即可.
【详解】解:矩形不一定具有的性质是对角线垂直.
故选:B.
【变式1-3】(2024·河南鹤壁·一模)矩形具有而菱形不具有的性质是(????)
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质,能熟记知识点是解此题的关键.根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题.
【详解】解:矩形的性质是:①矩形的四个角都是直角,②矩形的对边相等且互相平行,③矩形对角线相等且互相平分;
菱形的性质是:①菱形的四条边都相等,菱形的对边互相平行;②菱形的对角相等,③菱形的对角线互相平分且垂直,并且每条对角线平分一组对角,
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等,
故选:.
考点二:利用矩形的性质求角度
例2.(23-24八年级下·辽宁鞍山·期中)如图,在矩形中,点是延长线上一点,连接,若则的度数为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的性质,主要利用了矩形的对角线相等,等边对等角,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质是解题的关键.根据等边对等角的性质可得,再求解即可.
【详解】解:如图,连接,
四边形是矩形,
,
,
,
,
,
故选:D.
【变式2-1】(2024·四川凉山·二模)如图,矩形的对角线相交于点,过点作,交于点,连接.若,则的度数是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的性质与判定,三角形内角和定理的应用,根据矩形的性质可得对角线相等,进而根据已知可得垂直平分,根据
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