第14讲 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题-2024年新八年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题

【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】

例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．

【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．

??

(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；

(2)利用图形求的面积．

【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，

??

(1)在平面直角坐标系中画出．

(2)求的面积．

【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示

(1)写出A、B、C三点的坐标；

(2)求的面积；

(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．

【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】

例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．

(1)求点A、C的坐标；

(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；

(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．

【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，

(1)求的面积．

(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．

【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式

??

(1)请求出、、三点的坐标：

(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；

(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．

(1)求点的坐标及四边形的面积；

(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．

【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】

例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．

(1)点的“短距”为______；

(2)若点的“短距”为3，求m的值；

(3)若，两点为“等距点”，求k的值．

【变式3-1】（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．

(1)点的“长距”为；

(2)若点是“完美点”，求a的值；

(3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”．

【变式3-2】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”．

例如，点的一对“和谐点”是点与点

(1)点的一对“和谐点”坐标是与；

(2)若点的一对“和谐点”重合，则y的值为．

(3)若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标．

【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．

(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；

(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：

(3)点D为A，B的“k”系和点．

①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；

②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．

【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】

例4.（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动