第01讲 菱形的性质-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第01讲菱形的性质

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导；

2．能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明；

3．在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.

一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

要点：

（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

考点一：菱形的性质

例1．（2024八年级下·全国·专题练习）下列选项中，菱形不具有的性质是（????）

A．四边相等 B．对角线互相垂直

C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断．

【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，

∴A、B、D选项不符合题意，

∵菱形的对角线不一定相等，

∴菱形不具有的性质是对角线相等，

∴选项C符合题意，

故选：C

【变式1-1】（23-24八年级下·河南商丘·期中）关于菱形的性质，下列说法不正确的是（????）

A．四条边相等 B．对角线互相垂直

C．对角线互相平分 D．对角线相等

【答案】D

【分析】根据菱形的性质判断即可．此题主要考查对菱形的性质及判定的理解，关键是根据菱形的性质解答．

【详解】解：A、菱形的四条边都相等，正确不符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，正确不符合题意；

C、菱形的对角线互相平分，正确不符合题意；

D、菱形的对角线不一定相等，错误符合题意；

故选：D．

【变式1-2】（2024八年级下·全国·专题练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等

C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

【答案】D

【分析】利用平行四边形的性质和菱形的性质可求解．本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．

【详解】解：A、不正确，菱形和平行四边形都有两组对边都分别平行；

B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；

C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；

D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．

故选：D．

【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列性质中菱形具有而平行四边形不具有的是（?????）

A．对角线互相平分 B．两组对角分别相等

C．面积为底与高的积 D．每一条对角线平分一组对角

【答案】D

【分析】此题主要考查菱形的性质，菱形的对角线垂直和每一条对角线平分一组对角是菱形的重要性质，而平行四边形不具备这样的性质，解题的关键是熟知平行四边形与菱形的关系．

【详解】解：、菱形和平行四边形的对角线互相平分，原选项不符合题意；

、菱形和平行四边形的两组对角分别相等，原选项不符合题意；

、菱形和平行四边形的面积为底与高的积，原选项不符合题意；

、由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；而平行四边形不具备这样的性质，原选项符合题意；

故选：．

考点二：利用菱形的性质求角度

例2.（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为．

【答案】45

【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键．由等腰三角形的性质可求，由菱形的性质可得，即可求解．

【详解】解：，

，

，

，

，

四边形是菱形，

，

，

，

故答案为：45．

【变式2-1】（2024·重庆九龙坡·二模）如图，在菱形中，，依次连接各边中点，得到四边形，则°．

【答案】35

【分析】本题考查了菱形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的