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第04讲解题技巧专题:勾股定理与面积问题、方程思想
【题型一三角形中利用面积求斜边上的高】
例1.(2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习)如图,的顶点,,在边长为1的正方形网格的格点上,则边上的高是.
【变式1-1】(2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中)如图,由四个边长为的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到,则中边上的高是.
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【变式1-2】(2023上·吉林长春·八年级校考期中)如图,网格中每个小正方形的边长都为,的顶点均为网格上的格点.
??
(1)__________,__________,__________;
(2)的形状为__________三角形;
(3)求中边上的高__________.
【变式1-3】(2023上·江苏盐城·八年级统考期中)我们规定:三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差.如图1,中,为边上高,边的“边高差”等于,记为.
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(1)如图2,若中,,,,,则______.
(2)若中,∠B=90°,,,则______;
(3)若中,,,边上的高为15,求的值.
【题型二几何图形中巧妙割补求面积】
例2.如图,在四边形中,已知∠B=90°,,,,.
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(1)求证:是直角三角形;
(2)求四边形的面积.
【变式2-1】已知,,是的三边,且,,.
(1)试判断的形状,并说明理由;
(2)求的面积.
【变式2-2】如图,正方形网格的每个小方格边长均为1,的顶点在格点上.
(1)直接写出三角形的周长______,面积______.
(2)直接写出边上的高______.
【变式2-3】计算:如图,每个小正方形的边长都为1.
??
(1)求线段与的长;
(2)求四边形的面积;
(3)求证:.
【题型三“勾股树”及其拓展类型求面积】
例3.如图,在中,,分别以的三条边分别作等腰直角三角,,,若它们的面积分别表示为,,,则,,的关系是(????)
??
A. B.
C. D.,,无等量关系
【变式3-1】如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为,正方形A的面积是的面积是的面积是,则的面积为.
??
【变式3-2】如图,在中,,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,若,,则图中阴影部分的面积为.
【变式3-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
??
(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放,使点A、E、D在同一条直线上,请利用图2证明勾股定理.
(2)探究发现:如图3以直角三角形的三边为边,向外部作正方形面积分别为,请猜想的等量关系,并证明你的结论.
(3)拓展应用:如图,中,,分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形:、、,若图中阴影部分的面积,,,则.
【题型四几何图形中的方程思想—折叠问题(利用等边建立方程)】
例4.已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将按如图所示的方式折叠,使点A与点B重合,则的长是(????)
??
A. B. C. D.
【变式4-1】如图,有一块直角三角形纸片,,将斜边翻折,使点B落在直角边的延长线上的点E处,折痕为,则的长为(????)
A. B. C. D.3
【变式4-2】如图,将长方形纸片折叠,使点D与点B重合,点C落在点处,折痕为.
(1)求证:.
(2)若,求的面积.
【变式4-3】如图,在中,,把沿直线折叠,点与点重合.
??
(1)若,则的度数为;
(2)若,,求的长;
(3)当的周长为,,求的面积用含、的代数式表示
【题型五几何图形中的方程思想—公边问题(利用公边建立方程)】
例5.已知:如图,在中,是的角平分线,,则____.
??
【变式5-1】如图,在和中,,,,延长,交于点.
??
(1)求证:点A在的平分线上;
(2)若,,,求的长.
【变式5-2】(23-24八年级上·江苏南京·阶段练习)已知中,,,点在边上.请从,两题中任选一题作答.
A.如图1,若;
B.如图2,若;
我选择题,则的长为;
我选择题,则的长为.
【题型六实际问题中的方程思想】
例6.(2023上·河南郑州·八年级校考期中)如图,有一个水池,水面是一个边长为16米的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面2米,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶
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