第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想-2024年新八年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）.docxVIP

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第04讲解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想

【题型一三角形中利用面积求斜边上的高】

例1．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是．

【变式1-1】（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是．

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【变式1-2】（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．

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(1)__________，__________，__________；

(2)的形状为__________三角形；

(3)求中边上的高__________．

【变式1-3】（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为．

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(1)如图2，若中，，，，，则______．

(2)若中，∠B=90°，，，则______；

(3)若中，，，边上的高为15，求的值．

【题型二几何图形中巧妙割补求面积】

例2.如图，在四边形中，已知∠B=90°，，，，．

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(1)求证：是直角三角形；

(2)求四边形的面积．

【变式2-1】已知，，是的三边，且，，．

(1)试判断的形状，并说明理由；

(2)求的面积．

【变式2-2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．

(1)直接写出三角形的周长______，面积______．

(2)直接写出边上的高______．

【变式2-3】计算：如图，每个小正方形的边长都为1．

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(1)求线段与的长；

(2)求四边形的面积；

(3)求证：．

【题型三“勾股树”及其拓展类型求面积】

例3.如图，在中，，分别以的三条边分别作等腰直角三角，，，若它们的面积分别表示为，，，则，，的关系是（????）

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A． B．

C． D．，，无等量关系

【变式3-1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为．

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【变式3-2】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为．

【变式3-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

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(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理．

(2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论．

(3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则．

【题型四几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】

例4.已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（????）

??

A． B． C． D．

【变式4-1】如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（????）

A． B． C． D．3

【变式4-2】如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．

(1)求证：．

(2)若，求的面积．

【变式4-3】如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．

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(1)若，则的度数为；

(2)若，，求的长；

(3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示

【题型五几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】

例5.已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．

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【变式5-1】如图，在和中，，，，延长，交于点．

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(1)求证：点A在的平分线上；

(2)若，，，求的长．

【变式5-2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答．

A．如图1，若；

B．如图2，若；

我选择题，则的长为；

我选择题，则的长为．

【题型六实际问题中的方程思想】

例6.（2023上·河南郑州·八年级校考期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶