适用于新教材2025版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练44双曲线北师大版.docVIP

课时规范练44

基础巩固组

1.(2024·山东青岛一模)若双曲线ky2-8x2=8的焦距为6,则该双曲线的离心率为()

A.324 B.3

答案:A

解析:因为ky2-8x2=8为双曲线,所以k≠0,化为标准方程为y28k

由焦距为6可得c=8k+1=3,解得k=

所以双曲线为y28-

所以双曲线的离心率为e=ca

2.(2024·湖南常德一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,

A.5 B.2 C.72 D.

答案:A

解析:不妨设F(c,0),一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,所以|bc|b2+a2=2a,即b=2a,b2=4a2

3.(2024·湖南娄底高三期末)已知双曲线C:x24-y25=1的左焦点为F1,M为双曲线C右支上随意一点,D的坐标为(3,1),则

A.3 B.1 C.-1 D.-3

答案:D

解析:双曲线的实半轴长为a=2,右焦点为F2(3,0),所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a)=(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=(3-3)2+(1-0)2-4

4.(2024·山东潍坊一模)如图,某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂移,建筑师通过双曲线的设计元素给予了这座建筑以轻快、极简和雕塑般的气质,该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)上支的一部分

A.53 B.54 C.4

答案:B

解析:点F(0,c)到渐近线y=abx,即ax-by=0的距离d=|-bc|

又由题意可知a+c=36,a2

5.(2024·广东佛山二模)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点,且经过该正方形的另两个顶点

A.22-2 B.22+2 C.2-1 D.2+1

答案:A

解析:由图知,c=1,易知D(1,2),代入双曲线方程得1a2-4b2=1,又a2+b2=1,联立求解得a2=3-22

6.定义实轴长与焦距之比为黄金数5-12的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线x2a2-y2b

A.5-12 B.3-

答案:A

解析:由题可知2a2c=5-12,所以2a2=(3-5)c2=(3-5)(a

7.(2024·山东济南历城二中模拟)设F1,F2分别是双曲线x24-y245=1的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF

A.143 B.715 C.153 D.515

答案:C

解析:设|PF1|=5x(x0),则|PF2|=3x,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF1|=10,|PF2|=6.

又|F1F2|=14,故cos∠F1PF2=100+36-1962×10×6=-12,故sin

所以△PF1F2的面积为12×10×6×32=15

8.(多选)(2024·河北唐山三模)已知F1,F2为双曲线C:y23-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上随意一点,则(

A.|PF1|-|PF2|=23

B.双曲线C的渐近线方程为y=±33

C.双曲线C的离心率为2

D.|PF1+

答案:CD

解析:双曲线C:y23-x2=1的焦点在y轴上,a=3,b=1,c=a2

对于A,||PF1|-|PF2||=2a=23,而点P在哪支上并不确定,故A错误;

对于B,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±abx=±3x

对于C,e=ca

对于D,设P(x,y),则|PO|=x2+y2=x2+(3x2+3)=3+4x2≥3(当x=0时,等号成立),因为O为F

9.(2024·广东鹤山高三检测)若双曲线C:x2a2-y24=1的一条渐近线与直线l:3x+2y-

答案:213

解析:易知与直线l垂直的双曲线C:x2a2-y24=1的渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得,2×3-2a=0?a=3,∴c

∴双曲线的焦点坐标为F1(13,0),F2(-13,0).

∵虚轴的一个端点坐标为B(0,2),

∴S△F1BF2=12·|F1F2|·

10.(2024·全国甲,文15)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为e,写出满意条件“直线y=2

答案:2(答案不唯一,只要1e≤5即可)

解析:由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±bax,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需ba

由ba≤2,得c2-a2a2≤4,所以

11.(2024·江苏华罗庚中学高三检测)已知双曲线x23-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为

答案:5+23

解析:由双曲线方程知a=3,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0).

由双曲线定义知