高中数学：数学探究 杨辉三角的性质与应用第一课时.pptx

数学探究杨辉三角的性质与应用

（第一课时）

温故知新什么是二项展开式？什么是二项式系数？项数？

二项式定理：一般地，对于有二项式系数：项数：

n(a+b)n展开式的二项式系数12345615101051146411331121111615201561

11121133114641161520156115101051

1112113311464115101051161520156111“杨辉三角”

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。追溯历史

杨辉贾宪手算高次方根朱世杰高阶等差级数微积分差分方程无穷级数追溯历史

横向观察斜向观察纵向观察观察杨辉三角

162611111464133115101105115111520纵向观察杨辉三角，寻找规律对称性质探秘

探究1：横向观察“杨辉三角”，寻找规律1112113311464115101051161520156111对称性递推性性质一

问题1：你能证明上述猜想吗？

问题：回顾上述性质1的探究过程，我们经历了数学探究的哪些步骤？观察实验归纳猜想推理论证

探究2：从函数角度体验杨辉三角与二项式系数对于展开式的二项式系数：如果我们把下标n固定，上标r变化。这些二项式系数可以看成什么呢？从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是{0,1,2,…，n}

探究2：从函数角度体验杨辉三角与二项式系数以n=6为例，图象应该是什么样子的呢？其图象是7个孤立点。f(r)r63O515201101245

探究2：从函数角度体验杨辉三角与二项式系数通过老师演示，再结合杨辉三角，观察二项式系数是怎么变化的？对称轴是什么？单调性是怎样的呢？162611111464133115101105115111520f(r)r63O515201101245

性质二2、增减性3、最大值1、对称轴

2、增减性所以相对于的增减情况由决定由可知，当时，二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。

3、最大值二项展开式共有n+1项，（1）当n为偶数时，正中间一项的二项式系数______最大；（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数______,______相等，且同时取得最大值。总结提升：1）当对称轴是整数时，就在对称轴处取得最大值；2）当对称轴不是整数时，在离对称轴最近的两个整数处取得最大值。

探究3：观察杨辉三角，各横行的数字之和是多少？第5行 15101051第6行