【名校】安徽省六安市第一中学2024届高三上学期第五次月考数学试题.docxVIP

六安一中2024届高三年级第五次月考

数学试卷

时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，则等于（）

A．B．C．D．

2．已知复数是实数，则（）

A．0B．C．2D．

3．已知双曲线方程为，则“”是“双曲线离心率为2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．若，则的值为（）

A．B．C．0D．

5．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）

A．B．C．D．

6．椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

7．各棱长均相等的三棱柱平面是的中点，点是内动点，记二面角的平面角分别为．当点到点的距离和到直线的距离相等时，则（）

A．B．C．D．

8．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于，的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与反向，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若是异面直线，且，则

10．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，记与的离心率分别为，在第一象限的交点为，下列结论中正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

11．已知数列满足，则（）

A．当且时，是等比数列B．当时，是等比数列

C．当时，是等差数列D．当且时，是等比数列

12．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（）

A．曲线关于轴和轴对称

B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8

C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8

D．曲线上的点到原点的距离的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．平面向量与的夹角为，，则_______．

14．抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若轴，则_______．

15．如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则_______．

16．已知点关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过两点，且与直线相切．若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在中，角的对边分别为．

（1）求角；

（2）若为边的中点，求的面积．

18．（本小题满分12分）

己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．

（1）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；

（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．

19．（本小题满分12分）

记数列的前项和为，已知．

（1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为的中点，．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．

（1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；

（2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的焦距为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且．

①求证：直线经过定点；

②设和的面积分别为，求的最大值．

六安一中2024届高三年级第五次月考

数学试卷参考答案

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7

8

9

10

11

12

D

B

A

D

A

C

B

A

ACD

AD

ACD

ABD

13．14．15．16．

17．（1）由，有，两边同乘得，故，即．

因为，所以为锐角，，所以．

又因为，所以．

（2）在中，由余弦定理，即，

故，解得或（舍）．

故．

18．（1）由题意可得，解得，

因此，双曲线的方程为

设，则，

P到两条渐近线的距离之积

（2）由已知，得，设或，

因此，

对称轴为，由于，所以当时，的最小值为

19．（1）因为，

当时，，解得；

当时，由，得，

两式相减得，即，

则，即，

又，故，所以，

所以是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，即，所以．