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复习:幂函数的概念定义:函数y=xα(α是常数)叫做幂函数讨论幂函数的性质:幂函数由于指数α的不同,它们的定义域也不同,性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)也不同。主要分α0和α0两大类情况去讨论它们的定义域、单调性、奇偶性。
当0?1时,函数图像在第一象限内的规律如下过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,上凸递增。图象1.gsp当?1时,函数图像在第一象限内的规律如下过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,下凸递增。图象2.gsp当?0时,函数图像在第一象限内的规律如下过点(1,1)呈双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近。图象3.gsp
例1.gsp
例2:利用幂函数的性质,比较下面各组中两个值的大小1解:几何画板
2解:几何画板
?变式练习?1.函数y=(x()2-2x)-1/2的定义域是?A.{x|x≠0或x≠2}B.(-∞,0)(2,+∞)?C.(-∞,0)][2,+∞]D.(0,2)答案:B
3.已知函数y=(1)求函数的定义域、值域(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.答案:(1)定义域为[-5,3],值域为[0,2];(2)函数即不是奇函数,也不是偶函数
解析:这是复合函数问题,用换元法令t=15-2x-x,则y2=,(1)由15-2x-x2≥0得函数的定义域为[-5,3],∴t=16-(x-1)2∈[0,16]∴函数的值域为[0,2].(2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)∵函数的定义域为[-5,3],对称轴为x=1,∴x∈[-5,1]时,t随x的增大而增大;x∈(1,3)时,t随x的增大而减小.又∵函数y=在t∈[0,16]时,y随t的增大而增大,∴函数y=的单调增区间为[-5,1],单调减区间为(1,3]。
1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;2.对于幂函数y=x,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即a所在象限,其次确定曲线的类型,即a<0,0<a<1和a>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意a=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即a>0(≠1)时图象是抛物线型;a<0时图象是双曲线型;a>1时图象是竖直抛物线型;0<a<1时图象是横卧抛物线型.n
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