平面问题高阶单元课件.pptVIP

第7章平面问题高阶单元7.1位移模式阶次的选择在前面两章中讨论了平面问题三结点三角形单元，其位移模式的最高阶是坐标x、y的一次项。这种位移模式导致单元常应变、常应力特性，单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵均为常数矩阵，因此计算非常简单。但这种单元难以反映应力梯度的迅速变化。要想提高计算精度，必须细分网格，增加单元数和点数，因而加大输入数据的工作量。提高计算精度的另一条有效途径是采用高阶单元。由于高阶单元的应变、应力不再是常数，因此采用少量单元就

可能达到较高的精度。图7-1悬臂梁分别采用高、低阶单元计算就是一个典型的例子。PABh4h常应变单元：?=0.866A?B=0.619悬臂深梁??????解析解：?=1.0高阶单元：?=0.99A图7-1A?B=1.0?B=0.99

选择位移模式时，第2章提到要考虑解的收敛性，即要考虑到位移模式的完备性和协调性。实际操作中，一般应考虑位移模式的对称性。这是因为，有限元位移模式的选择实际是以帕斯卡（Pascal）三解形基础上的（如图7-2所示），由低价至高阶，顺序选取，组成多项式。多项式中的项数等于单元节点自由度数。如三节点三角形单元，位移1模式取完全一次式，共3项。xy六节点三角形单元，位移模式取完全二次式共6项。如果某一阶次不能全取，则应按对称性原则适当选取。x2xyy23223xxyxyy432234yxxyxyxy图7-2多项式选择的怕斯卡三角形

例如在下节将要讨论的四结点矩形单元中，位移模1xyx2xyy22式不能取1，x，y，x四项，3223xxyxyy432234yxxyxyxy2也不能取1，x，y，y四项，图7-2多项式选择的怕斯卡三角形而应取1，x，y，xy四项。7.2四节点矩形单元图7-3示出的矩形单元，边长分别为2a和2b。取4个角点为节点，编号为i，j，l，m。将x轴和y轴置于单元的对称轴上。1、位移函数单元的位移函数可取为：

（7-1）在上式表示的位移模式中，a,a,a,a,a,aa123567，8反映了单元的刚体位移和常应变。在单元的边界(x=±a或y=±a)上（或），位移是ymlb按线性分布的。因此，相邻单元在公共边上的位移是连续的。这样，位移模式满足了解答收敛性的充分条件。xbiaaj图7-3在式（7-1）中代入节点位移和节点坐标后，可解出

各待定系数(a…a)。将这些系数再代入式（7-1），可得：18（7-2）式中形函数为：（7-3）

令在节点上的值为：则式（7-3）可简写为（7-4）将位移函数写成矩阵形式，即有与式（2-20）相同的形式（7-5）式中（7-6）

（7-7）（7-8）其中，I为二阶单位矩阵。2、应变矩阵根据几何方程，可得与式（2-25）同样的形式把应变矩阵[B]写成子矩阵形式（7-9）其中（7-10）

由此可见，[B]是?、?的函数，即是x、y的函数。因此单元中的应变不再是常数。3、应力矩阵根据应力-应变关系，可以计算单元中的应力，得到式（2-28）同样形式（7-11）应力矩阵[S]具有与式（2-29）同样形式（7-12）将[S]写成子矩阵形式（7-13）

其中（7-14）上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只需将其中的E，?作相应的改变即可。4、单元刚度矩阵单元刚度矩阵可采用式（2-33a）进行计算（2-33a）

在四节点矩形单元中，[k]是一个8×8的矩阵。将[k]写成分块形式：（7-16）其中的子矩阵[k]可由下式计算rs2×2

（7-17）上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只须将上式中的E、?作相应的改变。5、等价节点力单元体积力和表面力引起的节点力仍可用式（2-45）和（2-46）进行计算。

（2-45）（2-46）对本问题给定的位移函数，若体积力是重力的情形（设重度为?），单元等价节点载荷列阵为：（7-18）有了对单元的上述结果，便可应用第5章的方法组集结构刚度矩阵和节点荷载向量；求解节点位移；计算内力和应力。四节点矩形单元采用较高阶的位移模式，具有比三节点三角形单元较高的计算精度。但矩形单元也有缺点，

一是不能适应斜线及曲线边界，二是不便于采用大小不同的单元。7.3六节点三角形单元1、位移模式在三角形单元i,j,m的各边中点增设一个节点，使每个单元具有6个节点，y得到图7-4所示的六节点三角形单元。ji???m?m?这种单元具有12个j?ix自由度，可以采用完全二次多项式的位移模式：图7-4

（7-20）所取位移模式反映了单元的刚体位移和常应变；单元内部是连续的；在单元边界上位移分量按抛物线变化，而每条公共边界上有3个公共结点，可以保证相邻两单元位移的连续性。因此，上述位移模式满足收敛的