（专题）勾股定理相关模型(有答案).docxVIP

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模型一：勾股树模型

例1.1

1．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=，则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．5

变式1.1－1

2．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1?36，S2?64，则S3?（??）

??

A．8 B．10 C．80 D．100

变式1.1－2

3．三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为（????）

??

A．164 B．36 C．8 D．6

例1.2

4．下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是（）

A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2

变式1.2－1

5．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（）

A．13 B． C．47 D．

变式1.2－2

6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（??）

A．1 B．2021 C．2020 D．2019

模型二：赵爽弦图模型

赵爽弦图的由来：三国时期吴国的数学家赵爽创制了这幅“赵爽弦图”，用数形结合的方式，最早完成了对勾股定理的证明．正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成，设的长为的长为的长为b，

，整理得到．

四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的图案，大正方形面积为49，小正方形面积为4，若x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则有：

（1）x2＋y2＝49勾股定理

（2）x－y＝2小正方形边长＝长直－短直

（3）2xy＋4＝49面积算两次

例2.1

7．设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y．若xy＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（????）

A．9 B．6 C．4 D．3

变式2.1－1

8．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（????）

A．8 B．6 C．4 D．5

变式2.1－2

9．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

变式2.1－3

10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

变式2.1－4

11．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示．

根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a－b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论∶若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a____b时，ab取得最大值．

拓展：如图所示，在正方形的四边上分别取点，使得，

（1）求证：四边形是正方形．

（2）若，求证四边形是正方形．

模型三：风吹树折模型（雷劈模型）

12．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）

例3

13．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（????）．

A．7米 B．8米 C．9米 D．12米

变式3－1

14．一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为（??）

A．米 B．米 C．米 D．米

变式3－2

15．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）

A．8米 B．12米